參數方程式

參數方程式把兩個座標都寫成同一參數的函數，$x = f(t),\ y = g(t)$，t在某個範圍內取值。參數也可以是角度或長度，但這裡的t是時鐘：每個時刻筆尖都位於$(f(t), g(t))$，曲線就是它留下的軌跡。這樣看，參數化說明的不只是哪些點在曲線上，還有筆尖何時到達每一點。

曲線與兩張圖使用相同的單位長度。y(t)的圖在曲線右方，使用曲線的y軸，t向右增加。x(t)的圖在曲線下方，使用曲線的x軸，t向下增加，所以它畫的是x隨t的變化，不是隨y的變化。從筆尖向右、向下延伸，在兩張圖上會到達同一時刻，也就是紅色時間線的位置。兩張圖在那裡的斜率$x'(t)$與$y'(t)$，就是速度的兩個分量。t軸配合圖形大小調整過比例，因此圖線看起來的陡緩不等於斜率的實際大小。

同一條曲線有許多種參數化，時鐘能把它們區分開。單位圓上，$(\cos t, \sin t)$走一圈，$(\cos 2t, \sin 2t)$以兩倍速率前進，$(\cos t, -\sin t)$則反向走。有理式的筆$\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$始終在圓上，卻永遠到不了(−1, 0)；越接近那一點，移動得越慢。在$y = x^2$上，$(t^3, t^6)$在頂點暫停一下，$(\sin t, \sin^2 t)$則來回走。消去t，只剩下x與y之間的關係，也就是讀數中的軌跡。失去的是筆何時位於哪裡、往哪個方向走、走多快，以及經過幾次。例如8字形兩次經過原點，每次的方向都不同。

播放讓t每秒增加1，並以相等時間間隔留下一個紅色刻點。筆快的地方刻點較疏，慢的地方較密。橢圓$(2\cos t, \sin t)$在短軸兩端最快。同一個橢圓也可以按弧長畫出來，速率為1。先播放第一支筆，再選擇按弧長的那支筆：同樣這些時刻會重新畫出，現在沿曲線等距排列。

半徑為1的輪子沿直線無滑動地滾動，輪緣上一點畫出的曲線就是擺線。輪子轉過t便向前滾了t，因此$x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$。每個瞬間，輪子都繞著接地點轉，所以筆尖的運動方向垂直於接地點到筆尖的線段，速率等於這段長度$2\lvert\sin(t/2)\rvert$。筆尖接地時，長度為0，筆停下，曲線出現尖點。光是速度為零並不足以產生尖點：$(\sin t, \sin^2 t)$在(1, 1)停下並折返，$(t^3, t^6)$在頂點暫停一下，但$y = x^2$在這兩處都是光滑的。