Persamaan parametrik

Persamaan parametrik menyatakan kedua koordinat sebagai fungsi satu parameter, $x = f(t),\ y = g(t)$, untuk t dalam suatu rentang. Parameter dapat berupa sudut atau panjang, tetapi di sini t berperan sebagai jam: pada setiap saat pena berada di $(f(t), g(t))$, dan kurva adalah jejak yang ditinggalkannya. Dengan cara pandang ini, parametrisasi menyatakan lebih dari sekadar titik mana yang berada pada kurva. Parametrisasi juga menyatakan kapan pena mencapai setiap titik.

Kurva dan kedua grafik menggunakan satuan panjang yang sama. Grafik y(t) di sebelah kanan kurva menggunakan sumbu y kurva, dengan t bertambah ke kanan. Grafik x(t) di bawahnya menggunakan sumbu x kurva, dengan t bertambah ke bawah: grafik ini menunjukkan x terhadap t, bukan terhadap y. Menelusuri ke kanan dan ke bawah dari pena akan mencapai waktu yang sama pada kedua grafik, di garis waktu merah. Kemiringan grafik di sana, $x'(t)$ dan $y'(t)$, adalah dua komponen kecepatan. Skala sumbu t disesuaikan dengan ruang yang tersedia, sehingga kecuraman grafik yang terlihat tidak menunjukkan nilai kemiringan sebenarnya.

Satu kurva memiliki banyak parametrisasi, dan jam membedakannya. Pada lingkaran satuan, $(\cos t, \sin t)$ menempuh satu putaran, $(\cos 2t, \sin 2t)$ bergerak dua kali lebih cepat, dan $(\cos t, -\sin t)$ bergerak ke arah sebaliknya. Pena rasional $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ tetap pada lingkaran tetapi tidak pernah mencapai (−1, 0); makin dekat ke titik itu, makin lambat geraknya. Pada $y = x^2$, $(t^3, t^6)$ berhenti sejenak di puncak parabola dan $(\sin t, \sin^2 t)$ bergerak bolak-balik. Menghilangkan t hanya menyisakan hubungan antara x dan y, yaitu lintasan pada tampilan nilai. Informasi yang hilang adalah kapan pena berada di mana, ke arah mana ia bergerak, seberapa cepat, dan berapa kali ia lewat. Kurva berbentuk angka delapan, misalnya, melewati titik asal dua kali dengan arah berbeda pada tiap lintasan.

Jalankan membuat t bertambah satu satuan per detik dan meninggalkan tanda merah pada selang waktu yang sama. Tanda berjauhan saat pena cepat dan merapat saat pena lambat. Pada elips $(2\cos t, \sin t)$, pena paling cepat di kedua ujung sumbu pendek. Elips yang sama juga dapat digambar menurut panjang busur, dengan kelajuan 1. Jalankan pena pertama, lalu pilih pena menurut panjang busur: tanda untuk waktu-waktu yang sama digambar ulang, kini berjarak sama sepanjang kurva.

Sikloid adalah kurva yang dibentuk oleh satu titik pada tepi roda berjari-jari 1 yang menggelinding tanpa selip sepanjang garis lurus. Setelah berputar sebesar t, roda maju sejauh t, sehingga $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. Pada setiap saat, roda berputar terhadap titik sentuhnya dengan tanah. Maka pena bergerak tegak lurus ruas garis dari titik itu ke pena, dengan kelajuan yang sama dengan panjang ruas tersebut, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Saat pena menyentuh tanah, panjang itu 0, pena berhenti, dan kurva membentuk titik runcing. Kecepatan nol saja tidak cukup untuk menghasilkan titik runcing: $(\sin t, \sin^2 t)$ berhenti dan berbalik di (1, 1), dan $(t^3, t^6)$ berhenti sejenak di puncak parabola, tetapi $y = x^2$ tetap mulus di kedua titik itu.