Параметрическое уравнение

Параметрическое уравнение задаёт обе координаты как функции одного параметра, $x = f(t),\ y = g(t)$, где t меняется в некотором диапазоне. Параметром может быть угол или длина, но здесь t играет роль часов: в каждый момент перо находится в $(f(t), g(t))$, а кривая — оставленный им след. С этой точки зрения параметризация сообщает не только, какие точки лежат на кривой, но и когда перо достигает каждой из них.

Кривая и два графика имеют общую единицу длины. График y(t) справа от кривой использует её ось y, а t возрастает вправо. График x(t) под кривой использует её ось x, а t возрастает вниз: он показывает зависимость x от t, не от y. Двигаясь от пера вправо и вниз, мы попадаем в один и тот же момент на обоих графиках — на красные линии времени. Наклоны графиков в этих точках, $x'(t)$ и $y'(t)$, — две компоненты вектора скорости. Масштаб осей t подогнан под доступное место, поэтому видимая крутизна графика не передаёт истинного значения его наклона.

У одной кривой много параметризаций, и часы позволяют их различить. На единичной окружности $(\cos t, \sin t)$ делает один оборот, $(\cos 2t, \sin 2t)$ движется вдвое быстрее, а $(\cos t, -\sin t)$ — в другую сторону. Перо с рациональной параметризацией $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ остаётся на окружности, но никогда не достигает (−1, 0); чем ближе оно к этой точке, тем медленнее движется. На $y = x^2$ перо $(t^3, t^6)$ на мгновение останавливается в вершине, а $(\sin t, \sin^2 t)$ ходит туда и обратно. Исключение t оставляет лишь связь между x и y — траекторию, указанную на табло. Теряется информация о том, когда перо где находится, в какую сторону и как быстро движется, сколько раз проходит через точку. Например, восьмёрка проходит начало координат дважды, каждый раз в другом направлении.

Кнопка Запустить увеличивает t на единицу в секунду и оставляет красные отметки через равные промежутки времени. Где перо движется быстро, отметки разрежены, где медленно — сгущены. На эллипсе $(2\cos t, \sin t)$ перо быстрее всего у концов малой оси. Тот же эллипс можно нарисовать по длине дуги, с модулем скорости 1. Запустите первое перо, затем выберите параметризацию по длине дуги: отметки тех же моментов будут перерисованы и теперь расположатся равномерно вдоль кривой.

Циклоида — след точки на ободе колеса радиуса 1, которое катится без проскальзывания вдоль прямой. Повернувшись на угол t, колесо продвигается на t, поэтому $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. В каждый момент колесо вращается вокруг точки касания с землёй. Поэтому перо движется перпендикулярно отрезку от этой точки до пера, а модуль скорости равен длине отрезка, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Когда перо касается земли, эта длина равна 0, перо останавливается, и на кривой возникает острие. Одной нулевой скорости недостаточно для острия: $(\sin t, \sin^2 t)$ останавливается и поворачивает назад в (1, 1), а $(t^3, t^6)$ на мгновение останавливается в вершине, но $y = x^2$ гладкая в обоих местах.