Equação paramétrica

Uma equação paramétrica dá as duas coordenadas como funções de um só parâmetro, $x = f(t),\ y = g(t)$, com t num determinado intervalo. O parâmetro pode ser um ângulo ou um comprimento, mas aqui t funciona como um relógio: em cada instante, o lápis está em $(f(t), g(t))$ e a curva é o rasto que deixa. Vista assim, uma parametrização não diz apenas que pontos pertencem à curva. Também diz quando o lápis chega a cada um deles.

A curva e os dois gráficos partilham a mesma unidade de comprimento. O gráfico de y(t), à direita da curva, usa o seu eixo y, com t a aumentar para a direita. O gráfico de x(t), por baixo, usa o eixo x da curva, com t a aumentar para baixo: mostra x em função de t, não de y. Partindo do lápis para a direita e para baixo, chegamos ao mesmo instante nos dois gráficos, nas linhas vermelhas do tempo. Os declives aí, $x'(t)$ e $y'(t)$, são as duas componentes da velocidade. Os eixos t estão ajustados ao espaço disponível, pelo que a inclinação aparente de um gráfico não corresponde ao valor real do seu declive.

Uma curva admite muitas parametrizações, e o relógio permite distingui-las. Na circunferência unitária, $(\cos t, \sin t)$ dá uma volta, $(\cos 2t, \sin 2t)$ é duas vezes mais rápido e $(\cos t, -\sin t)$ segue no sentido contrário. O lápis racional $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ mantém-se na circunferência, mas nunca chega a (−1, 0); quanto mais se aproxima desse ponto, mais devagar se move. Em $y = x^2$, $(t^3, t^6)$ para por um instante no vértice e $(\sin t, \sin^2 t)$ vai e vem. Eliminar t deixa apenas uma relação entre x e y: a trajetória indicada no mostrador. Perde-se a informação sobre quando o lápis está em cada lugar, em que sentido avança, com que rapidez e quantas vezes passa. A curva em oito, por exemplo, passa duas vezes pela origem, numa direção diferente de cada vez.

Reproduzir faz t avançar uma unidade por segundo e deixa uma marca vermelha a intervalos de tempo iguais. As marcas ficam afastadas onde o lápis é rápido e juntas onde é lento. Na elipse $(2\cos t, \sin t)$, o lápis é mais rápido nos extremos do eixo menor. A mesma elipse também pode ser desenhada por comprimento de arco, com rapidez 1. Reproduza o primeiro lápis e depois escolha o de comprimento de arco: os mesmos instantes são redesenhados, agora igualmente espaçados ao longo da curva.

Uma cicloide é traçada por um ponto na borda de uma roda de raio 1 que rola sem deslizar ao longo de uma reta. Depois de rodar um ângulo t, a roda avançou t, pelo que $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. Em cada instante, gira em torno do ponto onde toca no chão. Assim, o lápis move-se perpendicularmente ao segmento que liga esse ponto ao lápis, com rapidez igual ao comprimento do segmento, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Quando o lápis toca no chão, esse comprimento é 0, o lápis para e a curva tem uma cúspide. Uma velocidade nula não basta para produzir uma cúspide: $(\sin t, \sin^2 t)$ para e inverte o sentido em (1, 1), e $(t^3, t^6)$ para por um instante no vértice, mas $y = x^2$ é suave em ambos os pontos.