参数方程

参数方程把两个坐标都写成同一个参数的函数，$x = f(t),\ y = g(t)$，t在某个范围内取值。参数也可以是角度或长度，本页把t当作时钟：每个时刻笔在$(f(t), g(t))$，曲线就是它留下的笔迹。这样读，参数化说的不只是哪些点在曲线上，还有笔什么时候到达每一点。本页把同一条曲线的不同参数化叫作不同的“走法”。

曲线和两张图用同一个单位长度。y(t)的图在曲线右边，纵轴就是曲线的y轴，t向右。x(t)的图在曲线下面，横轴就是曲线的x轴，t向下，所以它画的是x随t的变化，不是x随y的变化。从笔尖横着、竖着引过去，在两张图上落到同一时刻，即红色时刻线处。两张图在那里的斜率$x'(t)$和$y'(t)$，就是速度的两个分量。t轴按图的大小缩放过，所以图线看上去的陡缓不等于斜率的真实大小。

同一条曲线有许多种走法，时钟能把它们区分开。单位圆上，$(\cos t, \sin t)$走一圈，$(\cos 2t, \sin 2t)$快一倍，$(\cos t, -\sin t)$反着走。有理式$\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$始终在圆上，却到不了(−1, 0)；离那一点越近，走得越慢。抛物线$y = x^2$上，$(t^3, t^6)$在顶点停一下，$(\sin t, \sin^2 t)$来回走。消去t，只剩下x与y之间的关系，就是读数里的笔迹；丢掉的是笔什么时候在哪里、往哪个方向走、走多快、经过几次。比如8字形两次经过原点，每次的方向不同。

播放让t每秒走1，每隔相等的时间留一个红色刻点。笔快的地方刻点稀，慢的地方密。椭圆$(2\cos t, \sin t)$在短轴两端最快。同一个椭圆也可以按弧长走，速率恒为1。在第一种走法上播放，再换到按弧长的走法：同样这些时刻会重画，沿曲线等距排开。

半径为1的轮子沿直线无滑动地滚动，轮缘上一点画出摆线。轮子转过t就向前滚了t，所以$x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$。轮子每一瞬间都绕着地点转，所以笔的运动方向垂直于着地点到笔尖的连线，速率等于这条线的长度$2\lvert\sin(t/2)\rvert$。笔着地时这段长度为0，笔停下，曲线出现尖点。速度为零不足以推出尖点：$(\sin t, \sin^2 t)$在(1, 1)停下折返，$(t^3, t^6)$在顶点停一下，可$y = x^2$在这两处都是光滑的。