万花尺

万花尺里，一个有$r$个齿的小轮，齿咬着齿，沿一个有$R$个齿的固定圆环滚动，可以在环内，也可以在环外；插在小轮里、离轮心$d = \rho r$的笔画出花样。两个齿轮的齿距相同，所以取同一个单位，它们的半径就是$R$和$r$。$\rho = 1$时笔在轮边上，超过1时笔装在伸出小轮的臂上。在这一页，你可以数清决定花样的齿数，移动笔看尖点和小圈从哪里来，还可以把花样一层层留在纸上。

淡淡的线是笔将要画出的整个花样。颜色沿着花样的一个周期渐变，所以重描同一段时颜色不变。

同一对齿再次相遇时，两个齿轮回到起始的位置。这需要滚过的齿数对两个齿轮都是整圈，最早的那个数就是两个齿数的最小公倍数。记$g = \gcd(R, r)$，

每滚过$r$个齿画出一瓣，一瓣不一定是闭合的小圈；每滚过$R$个齿绕固定的圆环一圈。笔在轮心时，花样只是一个圆，绕一圈就画完。所以瓣数取决于公因数，不取决于小轮的大小：96齿配36齿是8瓣，配35齿却是96瓣。嵌入屏跟着相遇的两个齿走，横向是圆环的齿，纵向是小轮的齿；底下的刻度相隔$g$，标出每一瓣从哪里开始。

小轮不会打滑，所以每一刻，贴着圆环的那一点是静止的，小轮绕着它转。于是笔的运动方向垂直于从接触点到笔的连线，速度和这条连线的长度成正比；“转臂”会画出这条连线和笔的速度。笔在轮边以内时，连线永远不会缩成零，笔从不停下，花样没有尖点。笔在轮边上时，每一瓣它都会到达接触点并停一下，形成尖点；下文的直线情形除外。笔在轮边以外时，每一瓣都有一段，笔逆着小轮前进的方向走，通常把每个尖点张开成一个小圈。

记θ为轮心绕圆环转过的角。用复数表示，笔的位置是

这是首尾相接的两根臂，各自匀速转动：一根从环心到轮心，一根长$d$，从轮心到笔。

有些设置画出有名字的曲线。笔在轮边上时，在环内滚画出内摆线，比为3 : 1是三尖瓣线，4 : 1是星形线；在环外滚画出外摆线，两个齿轮一样大时是心形线。在环内滚、小轮是圆环的一半时，两根臂转得一样快、方向相反，所以轮边以内的笔画出椭圆，轮边上的笔沿一条直径来回，这是图西双圆。

这些曲线叫内旋轮线和外旋轮线。英国工程师Denys Fisher在1960年代做出了万花尺这件玩具。