スピログラフ

スピログラフでは、歯が$r$個ある車輪が、歯が$R$個ある固定された輪の内側または外側を、歯をかみ合わせながら転がります。車輪の中心から距離$d = \rho r$の位置にあるペンが図形を描きます。両方の歯車の歯の間隔は同じなので、適切な単位を選べば半径は$R$と$r$です。$\rho = 1$ではペンは車輪の縁にあり、1を超えると車輪の外へ伸びた腕の上にあります。ここでは、模様を決める歯の数を数えたり、ペンを動かして尖った点やループができる仕組みを確かめたり、模様をレイヤーとして残したりできます。

薄い線は、これからペンが描く模様の全体です。色は模様の1周期にわたって変化するので、同じ部分をもう一度なぞっても色は変わりません。

同じ2つの歯が再び出会うと、歯車は初めの位置関係に戻ります。そのためには、かみ合って進んだ歯の数が、どちらの歯車にとっても整数回の回転に相当する必要があります。最初にこの条件を満たす数が最小公倍数です。$g = \gcd(R, r)$とすると、

歯$r$個分進むごとに花びらを1枚描きます。ここでいう花びらは曲線の一部分で、閉じたループとは限りません。歯$R$個分進むと、固定された輪を1周します。ペンが車輪の中心にある場合、模様はただの円となり、1周で完成します。つまり花びらの数を決めるのは車輪の大きさではなく公約数です。歯の数が96と36なら花びらは8枚、96と35なら96枚になります。小さな図は、出会う歯を輪の歯は横方向、車輪の歯は縦方向に追いかけます。$g$間隔の目盛りは、花びらの始まりを示します。

車輪は滑れないため、輪に触れている点は各瞬間に静止しており、車輪はその点を中心に回転します。そのためペンは、接点とペンを結ぶ線分に対して直角に、その線分の長さに比例する速さで動きます。腕は、この線分とペンの速度ベクトルを表示します。ペンが縁より内側にあれば、線分の長さはゼロにならないのでペンは止まらず、模様に尖った点はできません。ペンが縁にあると、花びら1枚につき1回、接点に達して止まります。これが尖った点を作りますが、後で述べる直線の場合は例外です。縁の外側では、花びら1枚につき1回、ペンが車輪の進む向きと逆向きに動く区間ができ、通常は尖った点が開いてループになります。

車輪の中心が輪の周りを進んだ角度をθとします。ペンの位置を複素数で表すと、

これは、2本の腕を端と端でつなぎ、それぞれを一定の角速度で回したものです。1本は輪の中心から車輪の中心まで、もう1本は車輪の中心からペンまで伸びる長さ$d$の腕です。

設定によっては、名前の付いた曲線が現れます。ペンを縁に置いて内側を転がすと内サイクロイドになり、比が3 : 1ならデルトイド、4 : 1ならアステロイドです。外側を転がすと外サイクロイドになり、両方の歯車が同じ大きさならカージオイドです。輪の半分の大きさの車輪を内側で転がすと、2本の腕は同じ速さで逆向きに回ります。そのため、縁より内側のペンは楕円を描き、縁にあるペンは直径に沿って動きます。これがトゥースィーの対円です。

これらの曲線は内トロコイド、外トロコイドと呼ばれます。英国の技術者デニス・フィッシャーが1960年代に玩具のスピログラフを開発しました。