Espirógrafo

Num espirógrafo, uma roda com $r$ dentes rola por dentro ou por fora de uma coroa fixa com $R$ dentes, engrenando dente a dente. Uma caneta na roda, à distância $d = \rho r$ do seu centro, vai desenhando. Os dentes das duas engrenagens têm o mesmo espaçamento, pelo que, numa unidade adequada, os seus raios são $R$ e $r$. Quando $\rho = 1$, a caneta está no bordo; acima de 1, fica num braço que se prolonga para fora da roda. Aqui podes contar os dentes que determinam um padrão, mover a caneta para perceber como surgem as pontas e os laços, e guardar os padrões como camadas.

A linha ténue mostra todo o padrão que a caneta irá traçar. A cor varia ao longo do período do padrão, pelo que um trecho que volta a ser traçado mantém a sua cor.

As engrenagens regressam à posição inicial quando os mesmos dois dentes voltam a encontrar-se. Para isso, é preciso percorrer um número de dentes que corresponda a um número inteiro de voltas de cada engrenagem. O primeiro número que satisfaz esta condição é o seu mínimo múltiplo comum. Com $g = \gcd(R, r)$,

Cada $r$ dentes percorridos traçam uma pétala, um trecho que não tem de ser um laço fechado, e cada $R$ dentes completam uma volta à coroa fixa. Com a caneta no centro, o padrão é apenas uma circunferência, concluída ao fim de uma volta. O número de pétalas depende, portanto, do divisor comum, não do tamanho da roda: 96 e 36 dentes dão 8 pétalas; 96 e 35 dão 96. O pequeno diagrama acompanha os dentes que se encontram, os da coroa na horizontal e os da roda na vertical. As suas marcas, espaçadas de $g$, assinalam o início das pétalas.

A roda não pode deslizar: em cada instante, o ponto de contacto com a coroa está parado e a roda gira à sua volta. A caneta move-se, por isso, perpendicularmente ao segmento que a une ao ponto de contacto, a uma velocidade proporcional ao comprimento desse segmento. Braços mostra o segmento e o vetor velocidade da caneta. Com a caneta dentro do bordo, o segmento nunca se reduz a zero, pelo que a caneta nunca para e o padrão não tem pontas. No bordo, a caneta chega ao ponto de contacto e para uma vez por pétala, formando uma ponta, exceto no caso retilíneo descrito abaixo. Para lá do bordo, uma vez por pétala, a caneta percorre um trecho no sentido oposto ao avanço da roda, o que geralmente abre cada ponta num laço.

Seja θ o ângulo percorrido pelo centro da roda à volta da coroa. A posição da caneta, expressa como número complexo, é

São dois braços unidos pelas extremidades, cada um a girar com velocidade angular constante: um vai do centro da coroa ao centro da roda; o outro, de comprimento $d$, vai do centro da roda à caneta.

Algumas configurações dão curvas com nome próprio. Com a caneta no bordo, o rolamento interior traça uma hipocicloide: uma deltoide para uma razão de 3 : 1 e uma astroide para 4 : 1. O rolamento exterior traça uma epicicloide, que é uma cardioide quando as engrenagens são iguais. No interior, uma roda com metade do tamanho da coroa faz os dois braços girarem à mesma velocidade em sentidos opostos. Assim, uma caneta dentro do bordo traça uma elipse e uma caneta no bordo percorre um diâmetro: o par de Tusi.

Estas curvas chamam-se hipotrocoides e epitrocoides. O engenheiro britânico Denys Fisher desenvolveu o brinquedo Spirograph na década de 1960.