Spirografo

In uno spirografo, una ruota con $r$ denti rotola all’interno o all’esterno di una corona fissa con $R$ denti, ingranando dente per dente. Una penna nella ruota, a distanza $d = \rho r$ dal suo centro, traccia il disegno. I denti dei due ingranaggi hanno la stessa spaziatura: in un’unità adatta, i loro raggi sono quindi $R$ e $r$. Quando $\rho = 1$, la penna si trova sul bordo; oltre 1, si trova su un braccio che sporge dalla ruota. Qui puoi contare i denti che determinano un disegno, spostare la penna per vedere come nascono punte e cappi, e conservare i disegni come livelli.

La linea tenue mostra l’intero disegno che la penna traccerà. Il colore varia lungo il periodo del disegno, quindi un tratto ripassato mantiene il proprio colore.

Gli ingranaggi tornano alla posizione iniziale quando gli stessi due denti si incontrano di nuovo. Occorre percorrere un numero di denti che corrisponda a un numero intero di giri per entrambi gli ingranaggi. Il primo numero che soddisfa questa condizione è il loro minimo comune multiplo. Con $g = \gcd(R, r)$,

Ogni $r$ denti percorsi si traccia un petalo, cioè un tratto che non deve necessariamente essere un cappio chiuso; ogni $R$ denti si compie un giro attorno alla corona fissa. Con la penna al centro, il disegno è solo un cerchio, completo dopo un giro. Il numero di petali dipende dunque dal divisore comune, non dalla dimensione della ruota: 96 e 36 denti danno 8 petali, mentre 96 e 35 ne danno 96. Il piccolo diagramma segue i denti che si incontrano, quelli della corona in orizzontale e quelli della ruota in verticale. Le sue tacche, distanziate di $g$, segnano l’inizio dei petali.

La ruota non può slittare: in ogni istante, il punto di contatto con la corona è fermo e la ruota gira attorno a esso. La penna si muove quindi perpendicolarmente al segmento che la unisce al punto di contatto, con una velocità proporzionale alla sua lunghezza. Bracci mostra il segmento e il vettore velocità della penna. Se la penna si trova all’interno del bordo, il segmento non si riduce mai a zero: la penna non si ferma e il disegno non ha punte. Sul bordo, la penna raggiunge il punto di contatto e si ferma una volta per petalo, formando una punta, tranne nel caso rettilineo descritto sotto. Oltre il bordo, una volta per petalo, la penna percorre un tratto in senso opposto al moto della ruota: di solito questo apre ogni punta in un cappio.

Sia θ l’angolo percorso dal centro della ruota attorno alla corona. La posizione della penna, espressa come numero complesso, è

Sono due bracci uniti alle estremità, ciascuno in rotazione a velocità angolare costante: uno va dal centro della corona al centro della ruota; l’altro, lungo $d$, va dal centro della ruota alla penna.

Alcune impostazioni producono curve con un nome proprio. Con la penna sul bordo, il rotolamento interno traccia un’ipocicloide: una deltoide con un rapporto di 3 : 1 e un’astroide con 4 : 1. Il rotolamento esterno traccia un’epicicloide, che è una cardioide quando i due ingranaggi sono uguali. All’interno, una ruota grande la metà della corona fa girare i due bracci alla stessa velocità in versi opposti. Una penna all’interno del bordo traccia allora un’ellisse, mentre una penna sul bordo percorre un diametro: è la coppia di Tusi.

Queste curve si chiamano ipotrocoidi ed epitrocoidi. L’ingegnere britannico Denys Fisher sviluppò il giocattolo Spirograph negli anni Sessanta.