Equazione parametrica

Un’equazione parametrica esprime entrambe le coordinate come funzioni di un unico parametro, $x = f(t),\ y = g(t)$, con t in un certo intervallo. Il parametro può essere un angolo o una lunghezza, ma qui t è un orologio: a ogni istante la penna si trova in $(f(t), g(t))$ e la curva è la traccia che lascia. Letta così, una parametrizzazione non dice soltanto quali punti appartengono alla curva. Dice anche quando la penna raggiunge ciascuno di essi.

La curva e i due grafici condividono la stessa unità di lunghezza. Il grafico di y(t), a destra della curva, ne usa l’asse y, mentre t cresce verso destra. Quello di x(t), sotto la curva, ne usa l’asse x, mentre t cresce verso il basso: mostra quindi x in funzione di t, non di y. Procedendo dalla penna verso destra e verso il basso si raggiunge lo stesso istante sui due grafici, in corrispondenza delle linee rosse del tempo. Le pendenze in quei punti, $x'(t)$ e $y'(t)$, sono le due componenti della velocità. Gli assi t sono adattati allo spazio disponibile, quindi l’inclinazione apparente di un grafico non corrisponde al valore effettivo della sua pendenza.

Una curva ha molte parametrizzazioni, e l’orologio permette di distinguerle. Sulla circonferenza unitaria, $(\cos t, \sin t)$ compie un giro, $(\cos 2t, \sin 2t)$ va due volte più veloce e $(\cos t, -\sin t)$ nel verso opposto. La penna razionale $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ resta sulla circonferenza ma non raggiunge mai (−1, 0); più si avvicina a quel punto, più rallenta. Su $y = x^2$, $(t^3, t^6)$ si ferma un istante nel vertice e $(\sin t, \sin^2 t)$ va avanti e indietro. Eliminare t lascia soltanto una relazione tra x e y: la traiettoria riportata nel riquadro dei valori. Si perde quando la penna si trova in ogni punto, in quale verso procede, quanto è veloce e quante volte passa. La curva a otto, per esempio, attraversa l’origine due volte, in una direzione diversa a ogni passaggio.

Riproduci fa avanzare t di un’unità al secondo e lascia un segno rosso a intervalli di tempo uguali. I segni sono distanti dove la penna è veloce e ravvicinati dove è lenta. Sull’ellisse $(2\cos t, \sin t)$, la penna è più veloce agli estremi dell’asse minore. La stessa ellisse può anche essere disegnata per lunghezza d’arco, con velocità di modulo 1. Avvia la prima penna, poi scegli quella parametrizzata per lunghezza d’arco: gli stessi istanti vengono ridisegnati, ora a distanze uguali lungo la curva.

Una cicloide è tracciata da un punto sul bordo di una ruota di raggio 1 che rotola senza strisciare lungo una retta. Dopo una rotazione di t, la ruota è avanzata di t, quindi $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. In ogni istante la ruota gira attorno al punto in cui tocca il suolo. La penna si muove perciò perpendicolarmente al segmento che unisce quel punto alla penna, con velocità di modulo pari alla lunghezza del segmento, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Quando la penna tocca il suolo, quella lunghezza è 0, la penna si ferma e la curva ha una cuspide. La sola velocità nulla non basta a creare una cuspide: $(\sin t, \sin^2 t)$ si ferma e torna indietro in (1, 1), e $(t^3, t^6)$ si ferma un istante nel vertice, ma $y = x^2$ è liscia in entrambi i punti.