Équation paramétrique

Une équation paramétrique exprime les deux coordonnées en fonction d’un même paramètre, $x = f(t),\ y = g(t)$, pour t dans un certain intervalle. Ce paramètre peut être un angle ou une longueur, mais ici t joue le rôle d’une horloge : à chaque instant, le stylet est en $(f(t), g(t))$, et la courbe est la trace qu’il laisse. Vu ainsi, un paramétrage ne dit pas seulement quels points sont sur la courbe. Il dit aussi quand le stylet atteint chacun d’eux.

La courbe et les deux graphiques ont la même unité de longueur. Le graphique de y(t), à droite de la courbe, reprend son axe y, tandis que t augmente vers la droite. Celui de x(t), en dessous, reprend son axe x, tandis que t augmente vers le bas : il représente donc x en fonction de t, et non de y. En partant du stylet vers la droite et vers le bas, on retrouve le même instant sur les deux graphiques, aux lignes rouges du temps. Les pentes à cet endroit, $x'(t)$ et $y'(t)$, sont les deux composantes du vecteur vitesse. Les axes t sont ajustés à la place disponible : l’inclinaison apparente d’un graphique ne donne donc pas la valeur réelle de sa pente.

Une même courbe admet de nombreux paramétrages, que l’horloge permet de distinguer. Sur le cercle unité, $(\cos t, \sin t)$ fait un tour, $(\cos 2t, \sin 2t)$ va deux fois plus vite et $(\cos t, -\sin t)$ dans l’autre sens. Le stylet rationnel $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ reste sur le cercle sans jamais atteindre (−1, 0) ; plus il s’en approche, plus il ralentit. Sur $y = x^2$, $(t^3, t^6)$ s’arrête un instant au sommet et $(\sin t, \sin^2 t)$ va et vient. Éliminer t ne laisse qu’une relation entre x et y : la trajectoire indiquée dans l’affichage. On perd l’instant où le stylet se trouve à chaque endroit, son sens, sa vitesse et le nombre de passages. La courbe en huit, par exemple, passe deux fois par l’origine, dans une direction différente à chaque fois.

Lecture fait avancer t d’une unité par seconde et laisse une marque rouge à intervalles de temps égaux. Les marques sont espacées là où le stylet va vite et resserrées là où il ralentit. Sur l’ellipse $(2\cos t, \sin t)$, il est le plus rapide aux extrémités du petit axe. On peut aussi tracer la même ellipse par longueur d’arc, à vitesse 1. Lancez la lecture avec le premier stylet, puis choisissez celui paramétré par longueur d’arc : les mêmes instants sont redessinés, désormais régulièrement espacés le long de la courbe.

Une cycloïde est la courbe tracée par un point sur le bord d’une roue de rayon 1 qui roule sans glisser le long d’une droite. Après avoir tourné d’un angle t, la roue a avancé de t, d’où $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. À chaque instant, elle tourne autour de son point de contact avec le sol. Le stylet se déplace donc perpendiculairement au segment qui relie ce point au stylet, à une vitesse égale à sa longueur, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Lorsque le stylet touche le sol, cette longueur vaut 0, le stylet s’arrête et la courbe présente une pointe. Une vitesse nulle ne suffit pas à créer une pointe : $(\sin t, \sin^2 t)$ s’arrête et fait demi-tour en (1, 1), et $(t^3, t^6)$ s’arrête un instant au sommet, alors que $y = x^2$ est lisse aux deux endroits.