Courbe polaire

En coordonnées polaires, un point est repéré par un angle θ mesuré depuis le demi-axe positif des x et une distance algébrique r dans cette direction. Une courbe polaire $r = f(\theta)$ est l’ensemble des points admettant au moins une paire de coordonnées (r, θ) qui vérifie l’équation.

Dans le graphique polaire, θ et sa demi-droite sont rouges ; le segment jaune relie l’origine au stylet bleu et représente r. Le graphique r–θ représente r en fonction de θ de façon ordinaire, avec la même échelle pour r. Là où il croise l’axe des θ, la courbe passe par l’origine. Là où il est sous l’axe, le stylet est de l’autre côté de l’origine ; des rayons jaunes indiquent la portion déjà tracée avec r < 0.

Un r négatif place le point à la distance |r| de l’origine sur la demi-droite opposée : $(-r, \theta + \pi)$ et $(r, \theta)$ désignent donc le même point. Un point possède ainsi plusieurs paires de coordonnées ; il appartient à la courbe dès que l’une d’elles vérifie l’équation, sans que toutes doivent la vérifier.

Une rosace $r = \cos k\theta$, avec k entier strictement positif, trace un pétale entre deux zéros consécutifs de $\cos k\theta$, espacés de π/k. Qu’un tour complet donne 2k pétales ou k pétales tracés deux fois découle d’une seule égalité : $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Pour k impair, ajouter π à θ inverse la demi-droite et le signe de r, laissant le point à la même place. Le second demi-tour retrace donc le premier. Chacun des k pétales est tracé une fois avec r > 0 et une fois avec r < 0. Pour k pair, le point en θ + π est celui en θ tourné d’un demi-tour autour de l’origine : les 2k pétales sont tous distincts, et la moitié proviennent de r négatif. Les indications 1× et 2× près des pointes comptent les passages complets déjà effectués sur chaque pétale.

Un limaçon $r = a + b\cos\theta$, avec a, b > 0, prend l’une de quatre formes déterminées uniquement par b/a. La page fixe donc a = 1 et fait varier b. Pour b ≤ 1/2, la courbe est convexe ; pour 1/2 < b < 1, elle présente un creux ; pour b = 1, c’est la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$. Pour b > 1, r est négatif lorsque $\cos\theta < -1/b$ ; ces angles θ tracent une boucle intérieure de l’autre côté de l’origine.

Dériver x et y par rapport à θ donne la vitesse du stylet par radian. Sur la cardioïde, elle vaut $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$, donc 0 en θ = π. Le stylet s’y arrête et la courbe présente un point de rebroussement à l’origine. Une rosace avec k > 1 traverse au contraire l’origine à sa vitesse maximale.

La spirale d’Archimède $r = \theta$, ici pour 0 ≤ θ ≤ 4π, s’éloigne de l’origine à un rythme constant en tournant. θ et θ + 2π donnent la même demi-droite, mais pas le même point : à chaque tour, la spirale croise chaque demi-droite 2π plus loin.