Kutupsal eğri

Kutupsal koordinatlarda bir nokta, pozitif x ekseninden ölçülen θ açısı ve o doğrultudaki işaretli r uzaklığıyla verilir. $r = f(\theta)$ kutupsal eğrisi, denklemi sağlayan en az bir (r, θ) gösterimi olan noktaların kümesidir.

Kutupsal grafikte θ ve ışını kırmızıdır; r, orijinden mavi kaleme uzanan sarı parçadır. r–θ grafiği, r’yi aynı ölçekte tutarak r’nin θ’ya göre sıradan bir grafiğini çizer. Bu grafik θ eksenini kestiğinde eğri orijinden geçer. Eksenin altındayken kalem orijinin öbür tarafındadır; sarı ışın parçaları, r < 0 ile o ana kadar çizilen bölümü işaretler.

Negatif r, noktayı karşı ışın üzerinde orijinden |r| uzağa yerleştirir; bu nedenle $(-r, \theta + \pi)$ ve $(r, \theta)$ aynı noktadır. Dolayısıyla bir noktanın birçok koordinat gösterimi vardır; eğri üzerinde olması için bunlardan birinin denklemi sağlaması yeterlidir, hepsinin sağlaması gerekmez.

k pozitif tam sayı olmak üzere $r = \cos k\theta$ gül eğrisi, $\cos k\theta$ ifadesinin aralarında π/k bulunan her iki komşu sıfırı arasında bir yaprak çizer. Tam turun 2k farklı yaprak mı, yoksa iki kez çizilen k yaprak mı verdiği $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$ eşitliğinden anlaşılır. Tek k için θ’ya π eklemek ışını ters çevirir ve r’nin işaretini değiştirir; nokta aynı yerde kalır. Böylece ikinci yarım tur, birincinin izini tekrarlar. k yaprağın her biri bir kez r > 0, bir kez r < 0 ile çizilir. Çift k için θ + π’deki nokta, θ’daki noktanın orijin çevresinde yarım tur döndürülmüş hâlidir; bu yüzden 2k yaprağın hepsi farklıdır ve yarısı negatif r ile çizilir. Uçların dışındaki 1× ve 2×, her yaprağın o ana kadar kaç kez bütünüyle çizildiğini sayar.

a, b > 0 için $r = a + b\cos\theta$ limaçon eğrisi, yalnızca b/a oranıyla belirlenen dört biçimden birini alır. Bu nedenle sayfa a = 1’i sabit tutup b’yi değiştirir. b ≤ 1/2 için eğri dışbükeydir; 1/2 < b < 1 için çöküntülüdür; b = 1 için $r = 1 + \cos\theta$ kardiyoidi olur. b > 1 olduğunda $\cos\theta < -1/b$ koşulunda r negatiftir ve bu θ değerleri orijinin öbür tarafında bir iç ilmek çizer.

x ve y’nin θ’ya göre türevleri kalemin radyan başına hızını verir. Kardiyoidde bu hız $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$ olur ve θ = π’de 0’dır. Kalem orada durur; eğrinin orijinde sivri bir ucu vardır. k > 1 olan gül eğrisi ise orijinden en yüksek hızıyla geçer.

Burada 0 ≤ θ ≤ 4π için çizilen $r = \theta$ Arşimet spirali, dönerken sabit oranda dışarı ilerler. θ ve θ + 2π aynı ışını gösterir, aynı noktayı değil: her turda her ışınla 2π daha uzakta kesişir.