Curva polar

En coordenadas polares, un punto se expresa mediante un ángulo θ, medido desde el semieje x positivo, y una distancia con signo r en esa dirección. Una curva polar $r = f(\theta)$ es el conjunto de puntos que tienen al menos una representación (r, θ) que satisface la ecuación.

En la gráfica polar, θ y su semirrecta son rojos; r se representa con el segmento amarillo del origen al lápiz azul. La gráfica r–θ muestra r frente a θ como una gráfica habitual, con la misma escala para r. Donde cruza el eje θ, la curva pasa por el origen. Donde queda por debajo del eje, el lápiz está al otro lado del origen; los radios amarillos marcan el tramo ya trazado con r < 0.

Un r negativo sitúa el punto a distancia |r| del origen sobre la semirrecta opuesta, así que $(-r, \theta + \pi)$ y $(r, \theta)$ son el mismo punto. Por tanto, un punto tiene muchas representaciones y pertenece a la curva cuando alguna satisface la ecuación; no es necesario que la satisfagan todas.

Una rosa $r = \cos k\theta$, con k entero positivo, traza un pétalo entre cada par de ceros consecutivos de $\cos k\theta$, separados por π/k. Que una vuelta completa dé 2k pétalos o k pétalos trazados dos veces se deduce de una igualdad: $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Para k impar, sumar π a θ invierte la semirrecta y cambia el signo de r, dejando el punto donde estaba. La segunda media vuelta retraza así la primera. Cada uno de los k pétalos se dibuja una vez con r > 0 y otra con r < 0. Para k par, el punto de θ + π es el de θ girado media vuelta alrededor del origen, de modo que los 2k pétalos son distintos y la mitad se trazan con r negativo. Los indicadores 1× y 2× junto a las puntas cuentan cuántas veces se ha trazado ya cada pétalo completo.

Un caracol $r = a + b\cos\theta$, con a, b > 0, toma una de cuatro formas, determinada solo por b/a. Por eso la página fija a = 1 y varía b. Para b ≤ 1/2 la curva es convexa; para 1/2 < b < 1 tiene una hendidura; en b = 1 es la cardioide $r = 1 + \cos\theta$. Para b > 1, r es negativo cuando $\cos\theta < -1/b$, y esos ángulos θ dibujan un lazo interior al otro lado del origen.

Derivar x e y respecto a θ da la rapidez del lápiz por radián. En la cardioide es $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$, que vale 0 en θ = π. El lápiz se detiene allí y la curva tiene una cúspide en el origen. Una rosa con k > 1, en cambio, pasa por el origen a su máxima rapidez.

La espiral de Arquímedes $r = \theta$, aquí para 0 ≤ θ ≤ 4π, se aleja del origen a un ritmo constante mientras gira. θ y θ + 2π apuntan sobre la misma semirrecta, pero no al mismo punto: cada vuelta cruza cada semirrecta 2π más lejos.