Polarkurve

In Polarkoordinaten wird ein Punkt durch den von der positiven x-Achse gemessenen Winkel θ und einen vorzeichenbehafteten Abstand r in dieser Richtung beschrieben. Eine Polarkurve $r = f(\theta)$ ist die Menge der Punkte, die mindestens eine Koordinatendarstellung (r, θ) besitzen, welche die Gleichung erfüllt.

Im Polarbild sind θ und sein Strahl rot. r ist die gelbe Strecke vom Ursprung zum blauen Stift. Der r–θ-Graph stellt r als gewöhnlichen Funktionsgraphen über θ dar, mit demselben Maßstab für r. Wo dieser Graph die θ-Achse kreuzt, läuft die Kurve durch den Ursprung. Liegt er unter der Achse, befindet sich der Stift auf der Gegenseite des Ursprungs. Gelbe Speichen markieren den bisher bei r < 0 gezeichneten Abschnitt.

Bei negativem r liegt der Punkt im Abstand |r| vom Ursprung auf dem entgegengesetzten Strahl. Daher bezeichnen $(-r, \theta + \pi)$ und $(r, \theta)$ denselben Punkt. Ein Punkt hat also mehrere Koordinatendarstellungen. Er gehört zur Kurve, sobald eine davon die Gleichung erfüllt; nicht alle müssen sie erfüllen.

Eine Rosenkurve $r = \cos k\theta$ mit positivem ganzzahligem k zeichnet zwischen je zwei benachbarten Nullstellen von $\cos k\theta$ ein Blatt. Ihr Abstand beträgt π/k. Ob ein voller Umlauf 2k Blätter oder k zweimal gezeichnete Blätter ergibt, folgt aus einer Zeile: $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Bei ungeradem k kehrt das Addieren von π zu θ den Strahl um und wechselt das Vorzeichen von r. Der Punkt bleibt dadurch am selben Ort. Die zweite halbe Umdrehung zeichnet also die erste nach. Jedes der k Blätter wird einmal bei r > 0 und einmal bei r < 0 gezeichnet. Bei geradem k ist der Punkt bei θ + π gegenüber dem Punkt bei θ um eine halbe Umdrehung um den Ursprung gedreht. Daher sind alle 2k Blätter verschieden, und die Hälfte entsteht bei negativem r. Die Angaben 1× und 2× außerhalb der Blattspitzen zählen, wie oft jedes ganze Blatt bisher gezeichnet wurde.

Eine pascalsche Schnecke $r = a + b\cos\theta$ mit a, b > 0 hat eine von vier Formen, die allein von b/a abhängt. Deshalb setzt die Seite a = 1 fest und verändert b. Für b ≤ 1/2 ist die Kurve konvex, für 1/2 < b < 1 hat sie eine Einbuchtung, und bei b = 1 ist sie die Kardioide $r = 1 + \cos\theta$. Für b > 1 ist r negativ, wenn $\cos\theta < -1/b$ gilt. Diese Winkel θ zeichnen eine innere Schleife auf der Gegenseite des Ursprungs.

Leitet man x und y nach θ ab, erhält man die Geschwindigkeit des Stifts pro Radiant. Auf der Kardioide ist sie $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$ und beträgt bei θ = π genau 0. Dort hält der Stift an, und die Kurve hat im Ursprung eine Spitze. Eine Rosenkurve mit k > 1 durchläuft den Ursprung dagegen mit ihrer höchsten Geschwindigkeit.

Die archimedische Spirale $r = \theta$, hier für 0 ≤ θ ≤ 4π, bewegt sich beim Drehen gleichmäßig nach außen. θ und θ + 2π zeigen entlang desselben Strahls, aber nicht auf denselben Punkt: Nach jeder Umdrehung wird jeder Strahl 2π weiter außen gekreuzt.