Полярная кривая

В полярных координатах точка задаётся углом θ, отсчитанным от положительного направления оси x, и направленным расстоянием r вдоль этого направления. Полярная кривая $r = f(\theta)$ — множество точек, у которых есть хотя бы одна запись (r, θ), удовлетворяющая уравнению.

На полярном графике θ и его луч красные, а r — жёлтый отрезок от начала координат до синего пера. График r–θ изображает обычную зависимость r от θ с тем же масштабом r. Там, где он пересекает ось θ, кривая проходит через начало координат. Когда он ниже оси, перо оказывается по другую сторону начала, а жёлтые спицы отмечают часть кривой, уже нарисованную при r < 0.

При отрицательном r точка лежит на противоположном луче на расстоянии |r| от начала, поэтому $(-r, \theta + \pi)$ и $(r, \theta)$ обозначают одну точку. У точки, таким образом, много записей координат; для принадлежности кривой достаточно, чтобы уравнению удовлетворяла хотя бы одна, не обязательно все.

Роза $r = \cos k\theta$, где k — положительное целое, рисует один лепесток между соседними нулями $\cos k\theta$, расстояние между которыми равно π/k. Получится ли за полный оборот 2k лепестков или k лепестков, пройденных дважды, объясняет равенство $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. При нечётном k прибавление π к θ разворачивает луч и меняет знак r, оставляя точку на месте. Поэтому второй полуоборот повторяет первый. Каждый из k лепестков рисуется один раз при r > 0 и один при r < 0. При чётном k точка при θ + π получается поворотом точки при θ на пол-оборота вокруг начала, поэтому все 2k лепестков различны и половина нарисована при отрицательном r. Надписи 1× и 2× у концов показывают, сколько раз каждый лепесток уже пройден целиком.

Улитка Паскаля $r = a + b\cos\theta$ при a, b > 0 принимает одну из четырёх форм, определяемую только отношением b/a. Поэтому на странице a = 1, а меняется b. При b ≤ 1/2 кривая выпуклая, при 1/2 < b < 1 у неё есть впадина, а при b = 1 получается кардиоида $r = 1 + \cos\theta$. При b > 1 значение r отрицательно, когда $\cos\theta < -1/b$; этим θ соответствует внутренняя петля по другую сторону начала координат.

Дифференцирование x и y по θ даёт скорость пера на радиан. На кардиоиде она равна $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$ и обращается в 0 при θ = π. Перо останавливается, а кривая заостряется в начале координат. Роза при k > 1, напротив, проходит начало с наибольшей скоростью.

Архимедова спираль $r = \theta$, здесь при 0 ≤ θ ≤ 4π, равномерно удаляется от начала по мере поворота. θ и θ + 2π задают один луч, но не одну точку: с каждым оборотом пересечение с любым лучом оказывается на 2π дальше.