Kurva polar

Dalam koordinat polar, titik dinyatakan oleh sudut θ yang diukur dari sumbu x positif dan jarak bertanda r dalam arah tersebut. Kurva polar $r = f(\theta)$ adalah himpunan titik yang memiliki setidaknya satu penulisan (r, θ) yang memenuhi persamaan.

Pada grafik polar, θ dan sinarnya berwarna merah, sedangkan r adalah ruas kuning dari titik asal ke pena biru. Grafik r–θ menggambar r terhadap θ sebagai grafik biasa, dengan skala r yang sama. Ketika grafik itu memotong sumbu θ, kurva melewati titik asal. Ketika grafik berada di bawah sumbu, pena berada di seberang titik asal; ruas-ruas kuning menandai bagian yang sudah digambar dengan r < 0.

r negatif menempatkan titik sejauh |r| dari titik asal pada sinar berlawanan, sehingga $(-r, \theta + \pi)$ dan $(r, \theta)$ menyatakan titik yang sama. Jadi, satu titik memiliki banyak penulisan koordinat; titik berada pada kurva jika salah satunya memenuhi persamaan, tidak harus semuanya.

Mawar $r = \cos k\theta$, dengan k bilangan bulat positif, menggambar satu kelopak di antara setiap dua nol bertetangga dari $\cos k\theta$, yang berjarak π/k. Apakah satu putaran menghasilkan 2k kelopak atau k kelopak yang digambar dua kali dijelaskan oleh $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Untuk k ganjil, menambahkan π pada θ membalik sinar dan tanda r, sehingga titik tetap di tempat yang sama. Paruh putaran kedua pun menelusuri kembali paruh pertama. Masing-masing dari k kelopak digambar sekali dengan r > 0 dan sekali dengan r < 0. Untuk k genap, titik pada θ + π adalah titik pada θ yang diputar setengah putaran terhadap titik asal, sehingga semua 2k kelopak berbeda; separuhnya digambar oleh r negatif. Angka 1× dan 2× di luar ujung menghitung berapa kali setiap kelopak telah selesai digambar.

Limaçon $r = a + b\cos\theta$ dengan a, b > 0 memiliki salah satu dari empat bentuk yang ditentukan hanya oleh b/a; karena itu halaman menetapkan a = 1 dan mengubah b. Untuk b ≤ 1/2, kurva cembung; untuk 1/2 < b < 1, ada lekukan; pada b = 1, kurva menjadi kardioid $r = 1 + \cos\theta$. Untuk b > 1, r negatif ketika $\cos\theta < -1/b$, dan nilai-nilai θ ini menggambar simpul dalam di seberang titik asal.

Turunan x dan y terhadap θ memberikan kelajuan pena per radian. Pada kardioid, nilainya $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$, yang menjadi 0 pada θ = π. Pena berhenti di sana, dan kurva memiliki titik runcing di titik asal. Sebaliknya, mawar dengan k > 1 melewati titik asal dengan kelajuan tertinggi.

Spiral Archimedes $r = \theta$, di sini untuk 0 ≤ θ ≤ 4π, bergerak keluar dengan laju tetap saat berputar. θ dan θ + 2π menunjuk sepanjang sinar yang sama, tetapi bukan titik yang sama: setiap putaran memotong setiap sinar 2π lebih jauh ke luar.