極座標曲線

極座標では、点をx軸の正方向から測った角度θと、その方向に沿う符号付き距離rで表します。極座標曲線$r = f(\theta)$は、方程式を満たす表示(r, θ)を少なくとも1つもつ点の集合です。

極座標の図ではθと半直線が赤、原点から青いペンまでの線分rが黄色です。r–θグラフはθに対するrを通常のグラフとして描き、rの縮尺は同じです。このグラフがθ軸を横切る場所で、曲線は原点を通ります。軸より下ではペンが原点の反対側にあり、黄色い放射線がr < 0でここまで描いた部分を示します。

rが負なら、点は反対側の半直線上で原点から|r|だけ離れた場所にあります。そのため$(-r, \theta + \pi)$と$(r, \theta)$は同じ点です。1つの点には複数の表示があり、そのうち1つが方程式を満たせば曲線上の点です。すべての表示が満たす必要はありません。

正の整数kによるバラ曲線$r = \cos k\theta$は、$\cos k\theta$の隣り合う零点の間に花弁を1枚描きます。零点の間隔はπ/kです。1周で2k枚になるか、k枚を2回ずつ描くかは、$\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$という1行から分かります。kが奇数ならθにπを加えると半直線が逆を向き、rの符号も変わるので、点は同じ場所にとどまります。そのため後半の半周は前半をなぞります。k枚の各花弁をr > 0で1回、r < 0で1回描きます。kが偶数ならθ + πの点はθの点を原点の周りに半回転した位置にあるので、2k枚はすべて異なり、半分は負のrで描かれます。先端の外側の1×、2×は、ここまでに花弁全体を何回描いたかを示します。

a, b > 0のリマソン$r = a + b\cos\theta$は、b/aだけで決まる4種類の形をとります。そのため、このページではa = 1に固定してbを変えます。b ≤ 1/2では凸、1/2 < b < 1ではくぼみがあり、b = 1ではカージオイド$r = 1 + \cos\theta$になります。b > 1では$\cos\theta < -1/b$のときrが負となり、そのθの範囲で原点の反対側に内側のループを描きます。

xとyをθで微分すると、ペンの1ラジアンあたりの速さが得られます。カージオイドでは$ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$であり、θ = πで0になります。そこでペンは止まり、曲線は原点に尖点をもちます。一方、k > 1のバラ曲線は原点を通るときが最速です。

アルキメデスのらせん$r = \theta$は、このページでは0 ≤ θ ≤ 4πを描き、回転とともに一定の割合で外へ進みます。θとθ + 2πは同じ半直線を指しますが、同じ点ではありません。1周ごとに、どの半直線とも2πだけ外側で交わります。