極座標曲線

在極座標中，一點由從x軸正方向量起的角度θ，以及沿該方向的有號距離r表示。極座標曲線$r = f(\theta)$是至少有一組座標表示(r, θ)滿足方程式的點所成的集合。

極座標圖中的θ與射線為紅色，r是從原點連到藍色畫筆的黃色線段。r–θ圖以一般函數圖形畫出r對θ的關係，r使用相同尺度。該圖穿過θ軸時，曲線通過原點；位於軸下方時，畫筆在原點另一側，黃色輻條標示目前以r < 0畫出的部分。

r為負時，點落在反向射線上，距原點|r|，因此$(-r, \theta + \pi)$與$(r, \theta)$表示同一點。一點因而有多組座標表示，只要其中一組滿足方程式，就在曲線上，不必每一組都滿足。

k為正整數的玫瑰線$r = \cos k\theta$，在$\cos k\theta$的每兩個相鄰零點之間畫出一瓣，零點相距π/k。一整圈會畫出2k瓣，還是將k瓣各畫兩次，源自這一式：$\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$。k為奇數時，θ加上π使射線反向，r也變號，點便留在同一位置。因此後半圈重描前半圈，k瓣各在r > 0與r < 0時畫一次。k為偶數時，θ + π處的點是θ處的點繞原點轉半圈的位置，所以2k瓣各不相同，一半來自負的r。花瓣尖端外的1×與2×，記錄每個完整花瓣目前畫了幾次。

a, b > 0的蚌線$r = a + b\cos\theta$有四種形狀，僅由b/a決定，因此本頁固定a = 1，調整b。b ≤ 1/2時曲線為凸形，1/2 < b < 1時有凹陷，b = 1時則是心臟線$r = 1 + \cos\theta$。b > 1時，在$\cos\theta < -1/b$的範圍內r為負，這些θ會在原點另一側畫出內環。

將x與y對θ微分，就得到畫筆每弧度的速率。心臟線上為$ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$，在θ = π時等於0。畫筆在此停下，曲線在原點形成尖點；k > 1的玫瑰線則以最快速率通過原點。

阿基米德螺線$r = \theta$在此取0 ≤ θ ≤ 4π，隨旋轉以固定比率向外移動。θ與θ + 2π指向同一射線，卻不是同一點：每轉一圈，就在往外2π的位置再次穿過各射線。