Curva polare

In coordinate polari un punto è dato da un angolo θ, misurato dal semiasse x positivo, e da una distanza con segno r in quella direzione. Una curva polare $r = f(\theta)$ è l’insieme dei punti che ammettono almeno una coppia di coordinate (r, θ) conforme all’equazione.

Nel grafico polare θ e la sua semiretta sono rossi; r è rappresentato dal segmento giallo dall’origine alla penna blu. Il grafico r–θ rappresenta r in funzione di θ come un normale grafico, con la stessa scala per r. Dove attraversa l’asse θ, la curva passa per l’origine. Dove sta sotto l’asse, la penna è dalla parte opposta dell’origine, e i raggi gialli indicano il tratto già percorso con r < 0.

Un r negativo colloca il punto a distanza |r| dall’origine sulla semiretta opposta, quindi $(-r, \theta + \pi)$ e $(r, \theta)$ sono lo stesso punto. Un punto ha dunque più coppie di coordinate e appartiene alla curva quando almeno una soddisfa l’equazione, non necessariamente tutte.

Una rodonea $r = \cos k\theta$, con k intero positivo, traccia un petalo fra ogni coppia di zeri consecutivi di $\cos k\theta$, distanti π/k. Che un giro completo dia 2k petali o k petali tracciati due volte dipende da un’unica uguaglianza: $\cos k(\theta + \pi) = (-1)^k \cos k\theta$. Per k dispari, aggiungere π a θ inverte la semiretta e il segno di r, lasciando il punto dov’era. Il secondo mezzo giro ripercorre quindi il primo. Ciascuno dei k petali è tracciato una volta con r > 0 e una volta con r < 0. Per k pari, il punto di θ + π è quello di θ ruotato di mezzo giro attorno all’origine: tutti i 2k petali sono diversi e metà sono tracciati con r negativo. Le indicazioni 1× e 2× accanto alle punte contano quante volte è stato tracciato ogni petalo completo fino a quel momento.

Una lumaca $r = a + b\cos\theta$, con a, b > 0, assume una di quattro forme, determinate solo da b/a. La pagina fissa quindi a = 1 e varia b. Per b ≤ 1/2 la curva è convessa; per 1/2 < b < 1 presenta un incavo; per b = 1 è la cardioide $r = 1 + \cos\theta$. Per b > 1, r è negativo quando $\cos\theta < -1/b$ e questi angoli θ tracciano un cappio interno dalla parte opposta dell’origine.

Derivare x e y rispetto a θ dà la velocità della penna per radiante. Sulla cardioide vale $ds/d\theta = 2\lvert\cos(\theta/2)\rvert$, che è 0 in θ = π. La penna si ferma lì e la curva ha una cuspide nell’origine. Una rodonea con k > 1, invece, attraversa l’origine alla massima velocità.

La spirale di Archimede $r = \theta$, qui per 0 ≤ θ ≤ 4π, si allontana dall’origine a ritmo costante mentre ruota. θ e θ + 2π indicano la stessa semiretta ma non lo stesso punto: a ogni giro la curva attraversa ogni semiretta 2π più lontano.