媒介変数表示

媒介変数表示では、両方の座標を1つの媒介変数の関数$x = f(t),\ y = g(t)$で表し、tをある範囲で動かします。媒介変数は角度や長さでもかまいませんが、ここではtを時計として使います。各時刻にペンは$(f(t), g(t))$にあり、その跡が曲線になります。この見方では、媒介変数表示は曲線上の点を指定するだけでなく、ペンが各点にいつ到達するかも示します。

曲線と2つのグラフは、同じ長さの単位を使っています。曲線の右にあるy(t)のグラフは、曲線のy軸をそのまま使い、tは右へ進みます。下にあるx(t)のグラフは曲線のx軸を使い、tは下へ進みます。したがって、ここに描かれているのはyに対するxではなく、tに対するxの変化です。ペンから横と下へたどると、2つのグラフ上の同じ時刻、赤い時刻線に行き着きます。そこでのグラフの傾き$x'(t)$と$y'(t)$が、速度の2つの成分です。t軸の縮尺は表示範囲に合わせているので、見た目の傾きは実際の傾きの値とは一致しません。

同じ曲線にも多くの媒介変数表示があり、時計を見ると違いがわかります。単位円では$(\cos t, \sin t)$が1周する間に、$(\cos 2t, \sin 2t)$は2倍の速さで動き、$(\cos t, -\sin t)$は逆向きに動きます。有理式のペン$\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$は円上にとどまりますが、(−1, 0)には決して到達しません。その点に近づくほど遅くなります。$y = x^2$上では$(t^3, t^6)$が頂点で一瞬止まり、$(\sin t, \sin^2 t)$は往復します。tを消去するとxとyの関係、つまり読数に示す軌跡だけが残ります。失われるのは、いつどこにいるか、どちらに進むか、速さはいくつか、何回通るかという情報です。たとえば8の字は原点を2回通り、そのたびに進む向きが異なります。

再生ではtが毎秒1ずつ進み、等しい時間間隔で赤い印を残します。ペンが速いところでは印が離れ、遅いところでは集まります。楕円$(2\cos t, \sin t)$では短軸の両端で最も速くなります。同じ楕円を弧長による表示で描けば、速さを1にできます。最初のペンで再生してから弧長によるペンに切り替えると、同じ時刻の印が描き直され、曲線に沿って等間隔に並びます。

サイクロイドは、半径1の車輪が直線上を滑らずに転がるとき、その周上の1点が描く曲線です。車輪がtだけ回転すると前方へtだけ進むので、$x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$となります。各瞬間、車輪は地面との接点を中心に回っています。そのためペンは、接点とペンを結ぶ線分に垂直に動き、速さはその長さ$2\lvert\sin(t/2)\rvert$に等しくなります。ペンが地面に触れるとその長さは0になり、ペンは停止し、曲線に尖点ができます。ただし速度が0になるだけでは尖点とは限りません。$(\sin t, \sin^2 t)$は(1, 1)で止まって折り返し、$(t^3, t^6)$は頂点で一瞬止まりますが、$y = x^2$はどちらでも滑らかです。