Ecuación paramétrica

Una ecuación paramétrica expresa ambas coordenadas como funciones de un mismo parámetro, $x = f(t),\ y = g(t)$, con t en un intervalo determinado. El parámetro puede ser un ángulo o una longitud, pero aquí t es un reloj: en cada instante, el lápiz está en $(f(t), g(t))$ y la curva es el rastro que deja. Vista así, una parametrización no solo dice qué puntos están en la curva. También indica cuándo llega el lápiz a cada uno.

La curva y las dos gráficas comparten la misma unidad de longitud. La gráfica de y(t), a la derecha de la curva, utiliza su eje y, con t creciendo hacia la derecha. La gráfica de x(t), debajo, utiliza su eje x, con t creciendo hacia abajo: muestra x en función de t, no de y. Al ir hacia la derecha y hacia abajo desde el lápiz, se alcanza el mismo instante en ambas gráficas, en las líneas rojas del tiempo. Las pendientes de las gráficas en ese punto, $x'(t)$ y $y'(t)$, son las dos componentes de la velocidad. Los ejes t se ajustan al espacio disponible, así que la inclinación aparente de una gráfica no refleja el valor real de su pendiente.

Una curva tiene muchas parametrizaciones, y el reloj permite distinguirlas. En la circunferencia unidad, $(\cos t, \sin t)$ da una vuelta, $(\cos 2t, \sin 2t)$ va el doble de rápido y $(\cos t, -\sin t)$ recorre el sentido contrario. El lápiz racional $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ permanece en la circunferencia, pero nunca llega a (−1, 0); cuanto más se acerca, más despacio se mueve. En $y = x^2$, $(t^3, t^6)$ se detiene un instante en el vértice y $(\sin t, \sin^2 t)$ va y viene. Al eliminar t, solo queda una relación entre x e y: la trayectoria que muestra el indicador. Se pierde cuándo está el lápiz en cada lugar, en qué sentido avanza, a qué rapidez y cuántas veces pasa. La curva en ocho, por ejemplo, cruza el origen dos veces, en una dirección distinta cada vez.

Reproducir hace avanzar t una unidad por segundo y deja una marca roja a intervalos de tiempo iguales. Las marcas quedan separadas donde el lápiz va rápido y juntas donde va despacio. En la elipse $(2\cos t, \sin t)$, alcanza su máxima rapidez en los extremos del eje menor. La misma elipse también puede dibujarse por longitud de arco, con rapidez 1. Reproduce el primer lápiz y cambia después al de longitud de arco: los mismos instantes se vuelven a dibujar, ahora repartidos uniformemente a lo largo de la curva.

Una cicloide es la curva que traza un punto del borde de una rueda de radio 1 al rodar sin deslizar por una recta. Tras girar un ángulo t, la rueda ha avanzado t, por lo que $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. En cada instante, gira alrededor de su punto de contacto con el suelo. Por eso el lápiz se mueve perpendicularmente al segmento que une ese punto con el lápiz, con una rapidez igual a la longitud del segmento, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Cuando el lápiz toca el suelo, esa longitud es 0, el lápiz se para y la curva tiene una cúspide. Una velocidad nula no basta para crear una cúspide: $(\sin t, \sin^2 t)$ se para y retrocede en (1, 1), y $(t^3, t^6)$ se detiene un instante en el vértice, pero $y = x^2$ es suave en ambos puntos.