Curva de Bézier

Una curva de Bézier de grado n queda definida por n + 1 puntos de control $P_0, \dots, P_n$: dos puntos dan un segmento, tres una curva cuadrática y cuatro la cúbica de los programas de dibujo. Su punto $B(t)$, rojo en la imagen, se obtiene tomando repetidamente la fracción t a lo largo de cada lado del polígono de control. Aquí puedes mover los puntos, recorrer t de 0 a 1 y ver cómo los segmentos de la construcción dejan hilos que perfilan la curva.

Construcción muestra los polígonos de cada nivel para el valor actual de t, cada uno con un lado menos que el anterior. Barrer hace avanzar t de 0 a 1 y deja hilos de la construcción a intervalos iguales de t, coloreados según t. La curva en sí es la línea fina.

Escrita como cálculo, la construcción es una sucesión de medias ponderadas, el algoritmo de Casteljau:

Al desarrollar los niveles sucesivos, cada punto de control recibe una suma de productos de n factores, cada uno de los cuales es 1 − t o t. Para $P_i$, cada producto tiene exactamente i factores t, y hay $\binom{n}{i}$ productos así, por lo que

Estos pesos son los polinomios de Bernstein, que se dibujan en el gráfico pequeño. Para $0 \le t \le 1$, nunca son negativos y suman 1, así que $B(t)$ es un promedio ponderado de los puntos y la curva nunca sale de su envolvente convexa. Desplazar un punto $P_i$ un vector Δ desplaza cada punto de la curva en $b_{i,n}(t)\,\Delta$, con el mayor desplazamiento cerca de $t = i/n$. Esa parte de la curva no siempre es la más cercana al punto de control.

En t = 0, todos los niveles empiezan en $P_0$, así que $B(0) = P_0$; de igual modo, $B(1) = P_n$. La curva pasa por sus dos extremos y normalmente no pasa por los demás puntos. El último nivel de la construcción es un único segmento que, salvo que se reduzca a un punto, está sobre la tangente a la curva:

Por tanto, la curva sale de $P_0$ en dirección a $P_1$ y llega a $P_n$ desde la dirección de $P_{n-1}$, salvo que los dos puntos de ese extremo coincidan. Por eso los programas de dibujo muestran los puntos intermedios de una cúbica como tiradores que salen de sus extremos.

Cada hilo del último nivel que no se reduce a un punto es tangente a la curva en el punto que lleva. Un hilo del nivel inferior es tangente del mismo modo a la curva de un conjunto menor de puntos vecinos. Así, cada familia de hilos perfila su propia curva, y las curvas de menor grado aparecen dentro del polígono. Perfilar no significa envolver por un solo lado: donde la curva tiene una inflexión, cruza su propia tangente y los hilos quedan a ambos lados. Cuando los tres puntos de control no están alineados, los hilos de una cuadrática corresponden a un dibujo de hilorama entre dos filas rectas de clavos, y la curva que perfilan es una parábola.

La construcción en t = s también corta la curva en dos. Los primeros puntos de sus niveles son los puntos de control del tramo de 0 a s, y los últimos son los del tramo de s a 1, como muestra Dividir. Al dividir por la mitad una y otra vez, los polígonos de los tramos se acercan a la curva. Elevar grado procede al revés: un punto de control más, la misma curva y un polígono más cercano a ella. En cambio, añadir un punto pulsando sobre la imagen modifica la curva.

Paul de Casteljau desarrolló la construcción en Citroën en 1959. Pierre Bézier llegó de forma independiente a las mismas curvas en Renault y las publicó en la década de 1960.