Bézier eğrisi

n dereceli bir Bézier eğrisi, n + 1 kontrol noktası $P_0, \dots, P_n$ ile belirlenir: iki nokta bir doğru parçası, üç nokta ikinci dereceden bir eğri, dört nokta ise çizim programlarındaki kübik eğriyi verir. Eğrinin resimde kırmızı görünen $B(t)$ noktası, kontrol çokgeninin her kenarında t oranındaki noktayı seçme işlemi tekrarlanarak bulunur. Burada noktaları hareket ettirebilir, t’yi 0’dan 1’e tarayabilir ve inşadaki doğru parçalarının eğriyi belirginleştiren iplikler bırakmasını izleyebilirsin.

İnşa, mevcut t değerinde her düzeyin çokgenini gösterir; her düzeyde öncekinden bir kenar eksiktir. Tara, t’yi 0’dan 1’e ilerletir ve eşit t aralıklarında, rengi t’ye göre belirlenen inşa iplikleri bırakır. Eğrinin kendisi ince çizgidir.

Formüle döküldüğünde inşa, ağırlıklı ortalamalardan oluşan bir merdivendir: de Casteljau algoritması.

Bu basamaklar açıldığında her kontrol noktasının katsayısı, n çarpanlı çarpımların toplamı olur; her çarpan 1 − t ya da t’dir. $P_i$ için her çarpımda tam i tane t çarpanı vardır ve böyle $\binom{n}{i}$ çarpım bulunur. Dolayısıyla

Bu ağırlıklar Bernstein polinomlarıdır ve küçük grafik onları çizer. $0 \le t \le 1$ için hiçbir zaman negatif olmazlar ve toplamları 1’dir. Bu yüzden $B(t)$, noktaların ağırlıklı ortalamasıdır ve eğri onların dışbükey kılıfının dışına çıkmaz. Bir $P_i$ noktasını Δ vektörü kadar taşımak, eğrinin her noktasını $b_{i,n}(t)\,\Delta$ kadar taşır; en büyük hareket $t = i/n$ yakınındadır. Eğrinin bu bölümü her zaman kontrol noktasına en yakın bölüm değildir.

t = 0’da her düzey $P_0$ noktasında başlar, dolayısıyla $B(0) = P_0$ olur; benzer biçimde $B(1) = P_n$ olur. Eğri iki uç noktasından geçer, diğer noktalardan ise genellikle geçmez. İnşanın son düzeyi tek bir doğru parçasıdır ve bu parça bir noktaya küçülmedikçe eğrinin teğeti üzerinde uzanır:

Böylece eğri $P_0$ noktasından $P_1$ yönünde ayrılır ve $P_{n-1}$ yönünden gelerek $P_n$ noktasına ulaşır; o uçtaki iki nokta çakışıyorsa durum farklıdır. Bu nedenle çizim programları kübik eğrinin ortadaki noktalarını, uçlarından uzanan tutamaçlar olarak gösterir.

Son düzeydeki, tek bir noktadan ibaret olmayan her iplik, taşıdığı noktada eğriye teğettir. Bir alt düzeydeki iplik de daha az sayıda komşu noktanın belirlediği eğriye aynı biçimde teğettir. Böylece her iplik ailesi kendi eğrisini belirginleştirir ve daha düşük dereceli eğriler çokgenin içinde görünür. Belirginleştirmek, tek taraftan sarmak demek değildir: bir büküm noktasında eğri kendi teğetini keser ve iplikler iki tarafta da bulunur. Üç kontrol noktası aynı doğru üzerinde değilse ikinci dereceden eğrinin iplikleri, iki düz çivi sırası arasında ip dolanarak yapılan ip sanatına karşılık gelir; belirginleştirdikleri eğri bir paraboldür.

t = s’deki inşa, eğriyi ikiye de böler. Her düzeyin ilk noktaları 0’dan s’ye uzanan parçanın, son noktaları ise s’den 1’e uzanan parçanın kontrol noktalarıdır. Böl bu iki grubu gösterir. Tekrar tekrar yarıya bölündükçe parçaların çokgenleri eğriye yaklaşır. Dereceyi yükselt ters yönde ilerler: bir kontrol noktası daha, aynı eğri ve ona daha yakın bir çokgen. Resme basarak eklenen bir nokta ise eğriyi değiştirir.

Citroën’de çalışan Paul de Casteljau, bu inşayı 1959’da geliştirdi. Renault’da çalışan Pierre Bézier, bağımsız olarak aynı eğrilere ulaştı ve bunları 1960’larda yayımladı.