貝茲曲線

n次貝茲曲線由n+1個控制點$P_0, \dots, P_n$決定：兩個點是線段，三個點是二次曲線，四個點就是繪圖軟體裡的三次曲線。曲線上的點$B(t)$（畫面中的紅點），是在控制折線的每一邊上反覆取比例t得到的。在這裡，你可以移動控制點，讓t從0掃到1，看構造中的線段留下一根根線，勾勒出曲線。

構造顯示目前t值下每一層的折線，每層比上一層少一條邊。掃描讓t從0走到1，以相等的t間距留下構造線，並依t上色。曲線本身是那條細線。

將構造寫成式子，就是一層層的加權平均，也就是 de Casteljau 演算法：

把這一層層的計算展開，每個控制點的係數就是若干個乘積的和，每個乘積有n個因子，而每個因子是1−t或t。對$P_i$來說，每個乘積恰好含有i個t，這樣的乘積共有$\binom{n}{i}$個，所以

這些權重是伯恩斯坦多項式，小圖畫的就是它們。$0 \le t \le 1$時，權重都不為負，加起來等於1，因此$B(t)$是控制點的加權平均，曲線不會跑出它們的凸包。把一個點$P_i$移動向量Δ，曲線上的每個點都會移動$b_{i,n}(t)\,\Delta$，在$t = i/n$附近移得最多。這一段不一定是離該控制點最近的一段。

t=0時，每一層都從$P_0$開始，所以$B(0) = P_0$；同樣地，$B(1) = P_n$。曲線通過兩個端點，通常不通過其餘的點。構造的最後一層只有一條線段，只要沒有縮成一個點，就位於曲線的切線上：

因此曲線從$P_0$出發時朝向$P_1$，到達$P_n$時則從$P_{n-1}$的方向過來，除非那一端的兩個點重合。這就是繪圖軟體把三次曲線中間的兩個點，顯示成從兩端伸出之控制把手的原因。

最後一層留下的線，只要不是單一點，就會在它所帶的那個點與曲線相切。低一層的線也以同樣的方式，與較少相鄰點所決定的曲線相切。因此每一族線都勾勒出自己的曲線，次數較低的曲線便出現在折線內部。勾勒不等於從一側包住：曲線在反曲點會穿過自己的切線，線會分布在兩側。三個控制點不共線時，二次曲線的線就像是在兩排直線排列的釘子間繞線做成的弦線畫，它們勾勒出的是拋物線。

t=s時的構造也能把曲線切成兩段。各層的第一個點，是0到s那一段的控制點；各層的最後一個點，則是s到1那一段的控制點，切開顯示的就是這兩組。一次次對半切下去，各段的控制折線會越來越貼近曲線。升階則往另一個方向：多一個控制點，曲線不變，折線更靠近曲線。而在畫面上按下新增的點，則會改變曲線。

雪鐵龍的保羅・德卡斯特里奧在1959年提出這個構造；雷諾的皮耶・貝茲獨立得到相同的曲線，並在1960年代發表。