Curva di Bézier

Una curva di Bézier di grado n è definita da n + 1 punti di controllo $P_0, \dots, P_n$: due punti danno un segmento, tre una curva quadratica, quattro la cubica dei programmi di disegno. Il suo punto $B(t)$, rosso nell’immagine, si ottiene prendendo ripetutamente la frazione t lungo ogni lato del poligono di controllo. Qui puoi spostare i punti, far variare t da 0 a 1 e osservare i segmenti della costruzione lasciare fili che delineano la curva.

Costruzione mostra i poligoni di ogni livello al valore attuale di t, ciascuno con un lato in meno del precedente. Scansione fa passare t da 0 a 1, lasciando fili della costruzione a intervalli uguali di t, colorati in base a t. La curva vera e propria è la linea sottile.

Scritta per esteso, la costruzione è una successione di medie pesate: l’algoritmo di de Casteljau.

Sviluppando i livelli successivi, ogni punto di controllo riceve una somma di prodotti di n fattori, ciascuno uguale a 1 − t oppure t. Per $P_i$, ogni prodotto contiene un numero di fattori t pari a i, e ci sono $\binom{n}{i}$ prodotti di questo tipo, quindi

Questi pesi sono i polinomi di Bernstein, rappresentati nel piccolo grafico. Per $0 \le t \le 1$ non sono mai negativi e la loro somma è 1: perciò $B(t)$ è una media pesata dei punti e la curva non esce mai dal loro inviluppo convesso. Spostando un punto $P_i$ di un vettore Δ, ogni punto della curva si sposta di $b_{i,n}(t)\,\Delta$, con lo spostamento maggiore vicino a $t = i/n$. Quella parte della curva non è sempre la più vicina al punto di controllo.

A t = 0 ogni livello comincia in $P_0$, quindi $B(0) = P_0$; analogamente, $B(1) = P_n$. La curva passa per i due estremi e di solito non passa per gli altri punti. L’ultimo livello della costruzione è un unico segmento che, a meno che non si riduca a un punto, giace sulla tangente alla curva:

La curva parte dunque da $P_0$ in direzione di $P_1$ e arriva in $P_n$ dalla direzione di $P_{n-1}$, a meno che i due punti a quell’estremo non coincidano. Ecco perché un programma di disegno mostra i punti intermedi di una cubica come maniglie che partono dagli estremi.

Ogni filo dell’ultimo livello che non si riduce a un punto è tangente alla curva nel punto che porta. Un filo del livello inferiore è tangente allo stesso modo alla curva definita da un numero minore di punti vicini. Così ogni famiglia di fili delinea una propria curva e le curve di grado inferiore appaiono all’interno del poligono. Delineare non significa avvolgere da un solo lato: dove la curva ha un flesso, attraversa la propria tangente e i fili si trovano da entrambe le parti. Se i tre punti di controllo non sono allineati, i fili di una quadratica corrispondono a un disegno fatto tendendo un filo tra due file rettilinee di chiodi, e la curva che delineano è una parabola.

La costruzione a t = s taglia anche la curva in due. I primi punti dei suoi livelli sono i punti di controllo del tratto da 0 a s, gli ultimi quelli del tratto da s a 1: Dividi mostra questi due gruppi. Dimezzando i tratti più e più volte, i loro poligoni si avvicinano alla curva. Eleva il grado procede nel senso opposto: un punto di controllo in più, la stessa curva e un poligono più vicino a essa. Un punto aggiunto premendo sull’immagine, invece, cambia la curva.

Paul de Casteljau elaborò la costruzione alla Citroën nel 1959. Pierre Bézier ottenne indipendentemente le stesse curve alla Renault e le pubblicò negli anni Sessanta.