Parametrik denklem

Bir parametrik denklem, belirli bir aralıktaki t için her iki koordinatı tek bir parametrenin fonksiyonları olarak verir: $x = f(t),\ y = g(t)$. Parametre bir açı veya uzunluk olabilir; burada ise t bir saattir. Her an kalem $(f(t), g(t))$ konumundadır ve eğri, kalemin bıraktığı izdir. Bu gözle bakıldığında parametrizasyon, hangi noktaların eğri üzerinde olduğunu söylemekle kalmaz. Kalemin her birine ne zaman ulaştığını da söyler.

Eğri ve iki grafik aynı uzunluk birimini kullanır. Eğrinin sağındaki y(t) grafiği eğrinin y eksenini kullanır; t sağa doğru artar. Altındaki x(t) grafiği ise eğrinin x eksenini kullanır; t aşağı doğru artar. Dolayısıyla bu grafik x değerini y cinsinden değil, t cinsinden gösterir. Kalemden sağa ve aşağı gidildiğinde iki grafikte de aynı ana, kırmızı zaman çizgilerine ulaşılır. Grafiklerin oradaki eğimleri $x'(t)$ ve $y'(t)$, hızın iki bileşenidir. t eksenlerinin ölçeği alana sığacak şekilde ayarlandığından, grafiğin görünürdeki dikliği gerçek eğim değerini vermez.

Bir eğrinin birçok parametrizasyonu vardır; saat bunları birbirinden ayırır. Birim çember üzerinde $(\cos t, \sin t)$ bir tur atar, $(\cos 2t, \sin 2t)$ iki kat hızlı ilerler, $(\cos t, -\sin t)$ ise ters yönde gider. Rasyonel kalem $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ çember üzerinde kalır ama (−1, 0) noktasına asla ulaşmaz; bu noktaya yaklaştıkça yavaşlar. $y = x^2$ üzerinde $(t^3, t^6)$ tepe noktasında bir an durur, $(\sin t, \sin^2 t)$ ise gidip gelir. t parametresi yok edildiğinde geriye yalnızca x ile y arasındaki ilişki, yani değer ekranındaki iz kalır. Kalemin ne zaman nerede olduğu, hangi yönde ve ne kadar hızlı ilerlediği, kaç kez geçtiği kaybolur. Örneğin sekiz biçimli eğri orijinden iki kez geçer ve her seferinde farklı bir yöne ilerler.

Oynat, t değerini saniyede bir birim ilerletir ve eşit zaman aralıklarında kırmızı işaretler bırakır. Kalem hızlıyken işaretler aralıklı, yavaşken sıktır. $(2\cos t, \sin t)$ elipsinde kalem kısa eksenin uçlarında en hızlıdır. Aynı elips yay uzunluğuna göre, 1 süratiyle de çizilebilir. Önce ilk kalemi oynatın, sonra yay uzunluğuna göre ilerleyen kalemi seçin: aynı anların işaretleri yeniden çizilir ve artık eğri boyunca eşit aralıklarla dağılır.

Sikloid, yarıçapı 1 olan bir tekerlek bir doğru boyunca kaymadan yuvarlanırken çemberi üzerindeki bir noktanın çizdiği eğridir. Tekerlek t açısı kadar döndüğünde t kadar ilerlemiş olur; dolayısıyla $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. Her an tekerlek yere değdiği nokta etrafında döner. Bu nedenle kalem, o noktadan kaleme uzanan doğru parçasına dik hareket eder; sürati bu parçanın uzunluğuna, $2\lvert\sin(t/2)\rvert$ değerine eşittir. Kalem yere değdiğinde bu uzunluk 0 olur, kalem durur ve eğride sivri uç oluşur. Hızın sıfır olması tek başına sivri uç oluşturmaz: $(\sin t, \sin^2 t)$, (1, 1) noktasında durup geri döner; $(t^3, t^6)$ tepe noktasında bir an durur; buna rağmen $y = x^2$ her iki noktada da düzgündür.