المعادلة البارامترية

تعبّر المعادلة البارامترية عن الإحداثيين كدالتين في بارامتر واحد، $x = f(t),\ y = g(t)$، حيث يقع ⁦t⁩ ضمن مجال معيّن. قد يكون البارامتر زاوية أو طولًا، لكن ⁦t⁩ هنا ساعة: في كل لحظة يكون القلم عند $(f(t), g(t))$، والمنحنى هو الأثر الذي يتركه. بهذه القراءة، لا يقتصر التمثيل البارامتري على تحديد النقاط الواقعة على المنحنى، بل يحدد أيضًا متى يصل القلم إلى كل منها.

للمنحنى والرسمين وحدة طول مشتركة. يستخدم رسم ⁦y(t)⁩، على يمين المنحنى، محور ⁦y⁩ نفسه، ويزداد ⁦t⁩ نحو اليمين. ويستخدم رسم ⁦x(t)⁩، أسفل المنحنى، محور ⁦x⁩ نفسه، بينما يزداد ⁦t⁩ نحو الأسفل؛ لذا فهو يبيّن ⁦x⁩ بدلالة ⁦t⁩، لا بدلالة ⁦y⁩. بالانتقال من القلم إلى اليمين وإلى الأسفل نصل إلى اللحظة نفسها في الرسمين، عند خطَّي الزمن الأحمرين. ميلا الرسمين هناك، $x'(t)$ و$y'(t)$، هما مركّبتا السرعة المتجهة. ضُبط مقياس محورَي ⁦t⁩ ليناسبا المساحة، لذلك لا يعبّر الانحدار الظاهر للرسم عن القيمة الفعلية لميله.

للمنحنى الواحد تمثيلات بارامترية كثيرة، والساعة تميّز بينها. على دائرة الوحدة، يكمل $(\cos t, \sin t)$ دورة، ويتحرك $(\cos 2t, \sin 2t)$ بضعف السرعة، ويسير $(\cos t, -\sin t)$ في الاتجاه المعاكس. يبقى القلم ذو التمثيل النسبي $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ على الدائرة، لكنه لا يصل إلى ⁦(−1, 0)⁩ أبدًا؛ وكلما اقترب من تلك النقطة تباطأ. على $y = x^2$ يتوقف $(t^3, t^6)$ لحظة عند الرأس، بينما يتحرك $(\sin t, \sin^2 t)$ ذهابًا وإيابًا. حذف ⁦t⁩ لا يُبقي إلا علاقة بين ⁦x⁩ و⁦y⁩، أي المسار المبين في لوحة القيم. وتضيع معلومات متى يكون القلم في كل موضع، وفي أي اتجاه يتحرك، وبأي سرعة، وكم مرة يمر به. فالمنحنى على شكل ثمانية مثلًا يمر بنقطة الأصل مرتين، في اتجاه مختلف كل مرة.

يجعل زر تشغيل قيمة ⁦t⁩ تتقدم بوحدة في الثانية، ويترك علامة حمراء بفواصل زمنية متساوية. تتباعد العلامات حيث يسرع القلم، وتتقارب حيث يبطئ. على القطع الناقص $(2\cos t, \sin t)$ يكون أسرع ما يمكن عند طرفَي المحور الصغير. ويمكن رسم القطع الناقص نفسه بطول القوس، بمقدار سرعة ⁦1⁩. شغّل القلم الأول ثم اختر القلم الممثّل بطول القوس: تُعاد علامات الأزمنة نفسها، وتصبح متساوية المسافات على طول المنحنى.

المنحنى السيكلويدي هو ما ترسمه نقطة على حافة عجلة نصف قطرها ⁦1⁩ تتدحرج من دون انزلاق على خط مستقيم. بعد دورانها بزاوية ⁦t⁩ تكون العجلة قد تقدمت مسافة ⁦t⁩، لذا $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. في كل لحظة تدور العجلة حول نقطة ملامستها للأرض. لذلك يتحرك القلم عموديًا على القطعة الواصلة من تلك النقطة إليه، بمقدار سرعة يساوي طول القطعة، $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. عندما يلامس القلم الأرض يصبح ذلك الطول ⁦0⁩، فيتوقف القلم وتظهر نقطة مدببة في المنحنى. انعدام السرعة وحده لا يصنع نقطة مدببة: يتوقف $(\sin t, \sin^2 t)$ ويعود أدراجه عند ⁦(1, 1)⁩، ويتوقف $(t^3, t^6)$ لحظة عند الرأس، لكن $y = x^2$ أملس في كلا الموضعين.