Parameterdarstellung

Eine Parameterdarstellung gibt beide Koordinaten als Funktionen eines Parameters an, $x = f(t),\ y = g(t)$, wobei t einen bestimmten Bereich durchläuft. Der Parameter kann ein Winkel oder eine Länge sein; hier ist t jedoch eine Uhr: Zu jedem Zeitpunkt steht der Stift bei $(f(t), g(t))$, und die Kurve ist seine Spur. So gelesen sagt eine Parametrisierung mehr als nur, welche Punkte auf der Kurve liegen. Sie sagt auch, wann der Stift jeden einzelnen erreicht.

Die Kurve und die beiden Diagramme haben dieselbe Längeneinheit. Der Graph von y(t) rechts neben der Kurve nutzt deren y-Achse; t läuft nach rechts. Der Graph von x(t) unterhalb der Kurve nutzt deren x-Achse; t läuft nach unten. Er zeigt also x in Abhängigkeit von t, nicht von y. Vom Stift aus waagerecht nach rechts und senkrecht nach unten gelangt man in beiden Diagrammen zum selben Zeitpunkt, an den roten Zeitlinien. Die dortigen Steigungen $x'(t)$ und $y'(t)$ sind die beiden Komponenten des Geschwindigkeitsvektors. Die t-Achsen sind dem verfügbaren Platz angepasst. Wie steil ein Graph aussieht, entspricht daher nicht dem tatsächlichen Wert seiner Steigung.

Eine Kurve hat viele Parametrisierungen, und die Uhr unterscheidet sie. Auf dem Einheitskreis macht $(\cos t, \sin t)$ einen Umlauf, $(\cos 2t, \sin 2t)$ läuft doppelt so schnell und $(\cos t, -\sin t)$ in die andere Richtung. Der rationale Stift $\bigl(\tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}, \tfrac{2t}{1 + t^2}\bigr)$ bleibt auf dem Kreis, erreicht aber (−1, 0) nie; je näher er diesem Punkt kommt, desto langsamer bewegt er sich. Auf $y = x^2$ hält $(t^3, t^6)$ am Scheitel kurz an, während $(\sin t, \sin^2 t)$ hin und her läuft. Eliminiert man t, bleibt nur eine Beziehung zwischen x und y: die im Anzeigefeld angegebene Spur. Verloren geht, wann der Stift wo ist, in welche Richtung und wie schnell er läuft und wie oft er vorbeikommt. Die Acht etwa durchläuft den Ursprung zweimal, jeweils in einer anderen Richtung.

Abspielen lässt t um eine Einheit pro Sekunde wachsen und hinterlässt in gleichen Zeitabständen eine rote Markierung. Wo der Stift schnell ist, liegen die Markierungen weit auseinander, wo er langsam ist, dicht beieinander. Auf der Ellipse $(2\cos t, \sin t)$ ist er an den Enden der kurzen Achse am schnellsten. Dieselbe Ellipse lässt sich auch nach Bogenlänge mit dem Geschwindigkeitsbetrag 1 zeichnen. Spiele zunächst den ersten Stift ab und wähle dann den Stift nach Bogenlänge: Dieselben Zeitpunkte werden neu eingezeichnet und sind nun entlang der Kurve gleichmäßig verteilt.

Eine Zykloide entsteht durch einen Punkt am Rand eines Rades mit Radius 1, das ohne zu rutschen entlang einer Geraden rollt. Nach einer Drehung um t ist das Rad um t vorwärtsgerollt, also gilt $x = t - \sin t,\ y = 1 - \cos t$. In jedem Moment dreht sich das Rad um den Punkt, an dem es den Boden berührt. Daher bewegt sich der Stift senkrecht zur Verbindungslinie zwischen diesem Punkt und der Stiftspitze, mit einem Geschwindigkeitsbetrag gleich der Linienlänge $2\lvert\sin(t/2)\rvert$. Berührt der Stift den Boden, ist diese Länge 0, der Stift hält an, und die Kurve hat eine Spitze. Geschwindigkeit null allein erzeugt jedoch keine Spitze: $(\sin t, \sin^2 t)$ hält bei (1, 1) an und kehrt um, und $(t^3, t^6)$ hält am Scheitel kurz an; dennoch ist $y = x^2$ an beiden Stellen glatt.