Spirograph

Bei einem Spirographen rollt ein Rad mit $r$ Zähnen innen oder außen an einem festen Ring mit $R$ Zähnen entlang. Die Zähne greifen ineinander, und ein Stift im Rad zeichnet im Abstand $d = \rho r$ vom Radmittelpunkt. Beide Zahnräder haben denselben Zahnabstand; in einer passenden Einheit sind ihre Radien daher $R$ und $r$. Bei $\rho = 1$ sitzt der Stift am Rand, bei Werten über 1 auf einem Arm, der über das Rad hinausragt. Hier kannst du die Zähne zählen, die das Muster bestimmen, den Stift verschieben und beobachten, wie Spitzen und Schleifen entstehen, und Muster als Ebenen behalten.

Die blasse Linie zeigt das gesamte Muster, das der Stift zeichnen wird. Die Farbe ändert sich über eine Periode des Musters, sodass ein erneut gezeichneter Abschnitt seine Farbe behält.

Die Zahnräder sind wieder in ihrer Ausgangslage, wenn dieselben beiden Zähne erneut aufeinandertreffen. Dafür muss die Zahl der abgerollten Zähne bei beiden Zahnrädern einer ganzen Zahl von Umdrehungen entsprechen. Die erste solche Zahl ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. Mit $g = \gcd(R, r)$ gilt:

Je $r$ abgerollte Zähne zeichnen ein Blütenblatt, also einen Abschnitt, der keine geschlossene Schleife sein muss. Je $R$ Zähne ergeben einen Umlauf um den festen Ring. Sitzt der Stift im Mittelpunkt, entsteht nur ein Kreis, der nach einem Umlauf fertig ist. Die Zahl der Blütenblätter hängt also vom gemeinsamen Teiler ab, nicht von der Radgröße: 96 und 36 Zähne ergeben 8 Blütenblätter, 96 und 35 dagegen 96. Die kleine Grafik verfolgt die aufeinandertreffenden Zähne: die des Rings waagerecht, die des Rads senkrecht. Ihre Markierungen im Abstand $g$ zeigen die Anfänge der Blütenblätter.

Das Rad kann nicht rutschen. Daher steht der Berührungspunkt mit dem Ring in jedem Augenblick still, und das Rad dreht sich um ihn. Der Stift bewegt sich deshalb senkrecht zur Verbindungslinie zwischen Berührungspunkt und Stift, mit einer Geschwindigkeit proportional zu deren Länge. Arme zeigt diese Linie und den Geschwindigkeitsvektor des Stifts. Liegt der Stift innerhalb des Rands, schrumpft die Linie nie auf null: Der Stift hält nie an, und das Muster hat keine Spitzen. Sitzt er auf dem Rand, erreicht er einmal pro Blütenblatt den Berührungspunkt und hält kurz an. So entsteht eine Spitze, außer im unten beschriebenen geradlinigen Fall. Außerhalb des Rands bewegt sich der Stift einmal pro Blütenblatt ein Stück gegen die Bewegungsrichtung des Rads. Dadurch öffnet sich jede Spitze meist zu einer Schleife.

Sei θ der Winkel, den der Radmittelpunkt um den Ring zurückgelegt hat. Als komplexe Zahl ist die Position des Stifts

Das sind zwei aneinandergesetzte Arme, die sich jeweils mit konstanter Winkelgeschwindigkeit drehen: einer vom Ringmittelpunkt zum Radmittelpunkt, der andere mit der Länge $d$ vom Radmittelpunkt zum Stift.

Einige Einstellungen ergeben Kurven mit eigenen Namen. Mit dem Stift am Rand entsteht beim Rollen innen eine Hypozykloide: bei einem Verhältnis von 3 : 1 eine Deltoide, bei 4 : 1 eine Astroide. Beim Rollen außen entsteht eine Epizykloide, bei gleich großen Zahnrädern eine Kardioide. Rollt innen ein Rad, das halb so groß wie der Ring ist, drehen sich seine beiden Arme gleich schnell in entgegengesetzte Richtungen. Ein Stift innerhalb des Rands zeichnet dann eine Ellipse; ein Stift auf dem Rand bewegt sich entlang eines Durchmessers: das Tusi-Paar.

Die Kurven heißen Hypotrochoiden und Epitrochoiden. Der britische Ingenieur Denys Fisher entwickelte das Spirograph-Spielzeug in den 1960er-Jahren.