스피로그래프

스피로그래프에서는 톱니가 $r$개인 바퀴가 톱니 $R$개를 가진 고정된 고리의 안쪽이나 바깥쪽을 따라 톱니를 맞물리며 굴러갑니다. 바퀴 중심에서 $d = \rho r$만큼 떨어진 펜이 그림을 그립니다. 두 톱니바퀴의 톱니 간격은 같으므로 적절한 단위로 나타내면 반지름은 $R$과 $r$입니다. $\rho = 1$이면 펜은 바퀴 테두리에 있고, 1보다 크면 바퀴 밖으로 뻗은 팔 위에 놓입니다. 여기서는 무늬를 결정하는 톱니 수를 세고, 펜을 옮겨 뾰족한 점과 고리가 어떻게 생기는지 살펴보고, 무늬를 레이어로 남길 수 있습니다.

희미한 선은 펜이 그릴 무늬 전체입니다. 색은 무늬의 한 주기에 걸쳐 변하므로 같은 구간을 다시 그려도 색이 유지됩니다.

같은 두 톱니가 다시 만나면 톱니바퀴는 처음의 위치 관계로 돌아옵니다. 그러려면 맞물려 지나간 톱니 수가 두 톱니바퀴 모두에서 정수 번의 회전에 해당해야 합니다. 이 조건을 처음 만족하는 수가 최소공배수입니다. $g = \gcd(R, r)$라 하면,

톱니 $r$개만큼 굴러갈 때마다 꽃잎 하나를 그립니다. 여기서 꽃잎은 곡선의 한 구간으로, 반드시 닫힌 고리일 필요는 없습니다. 톱니 $R$개만큼 굴러가면 고정된 고리를 한 바퀴 돕니다. 펜이 바퀴 중심에 있으면 무늬는 단순한 원이며 한 바퀴 만에 완성됩니다. 따라서 꽃잎 수는 바퀴 크기가 아니라 공약수에 달려 있습니다. 톱니가 96개와 36개이면 꽃잎은 8개, 96개와 35개이면 96개입니다. 작은 그림은 서로 만나는 톱니를 따라가며, 고리의 톱니는 가로축에, 바퀴의 톱니는 세로축에 표시합니다. $g$ 간격의 눈금은 꽃잎이 시작되는 곳을 나타냅니다.

바퀴는 미끄러질 수 없으므로 매 순간 고리와 닿는 점은 정지해 있고 바퀴는 그 점을 중심으로 회전합니다. 따라서 펜은 접점에서 펜까지 잇는 선분에 수직으로 움직이며, 그 속력은 선분 길이에 비례합니다. 팔은 이 선분과 펜의 속도 벡터를 보여 줍니다. 펜이 테두리 안쪽에 있으면 선분 길이가 0이 되지 않으므로 펜이 멈추지 않고 무늬에도 뾰족한 점이 생기지 않습니다. 펜이 테두리에 있으면 꽃잎마다 한 번씩 접점에 도달해 멈추며 뾰족한 점을 만듭니다. 다만 아래에서 설명할 직선의 경우는 예외입니다. 테두리 바깥에 있으면 꽃잎마다 한 번씩 펜이 바퀴의 진행 방향과 반대로 움직이는 구간이 생기며, 보통 이 때문에 각 뾰족한 점이 벌어져 고리가 됩니다.

바퀴 중심이 고리 둘레를 따라 이동한 각도를 θ라 합시다. 펜의 위치를 복소수로 나타내면

이는 끝과 끝을 이은 두 팔이 각각 일정한 각속도로 회전하는 것입니다. 하나는 고리 중심에서 바퀴 중심까지, 다른 하나는 바퀴 중심에서 펜까지 이어지는 길이 $d$의 팔입니다.

일부 설정에서는 이름이 붙은 곡선이 나옵니다. 펜이 테두리에 있을 때 안쪽으로 굴리면 내접 사이클로이드가 그려집니다. 비율이 3 : 1이면 델토이드, 4 : 1이면 아스트로이드입니다. 바깥쪽으로 굴리면 외접 사이클로이드가 그려지며, 두 톱니바퀴의 크기가 같으면 카디오이드가 됩니다. 고리 크기의 절반인 바퀴를 안쪽으로 굴리면 두 팔은 같은 속력으로 반대 방향으로 회전합니다. 따라서 테두리 안쪽의 펜은 타원을 그리고, 테두리 위의 펜은 지름을 따라 움직입니다. 이것이 투시의 쌍원입니다.

이 곡선들을 하이포트로코이드와 에피트로코이드라고 합니다. 영국의 공학자 데니스 피셔는 1960년대에 스피로그래프 장난감을 개발했습니다.