Spirographe

Dans un spirographe, une roue de $r$ dents roule à l’intérieur ou à l’extérieur d’une couronne fixe de $R$ dents, en s’engrenant avec elle. Un stylo placé dans la roue à une distance $d = \rho r$ de son centre trace le dessin. Les dents des deux engrenages ont le même espacement : dans une unité adaptée, leurs rayons valent donc $R$ et $r$. À $\rho = 1$, le stylo est sur le bord ; au-delà de 1, il est sur un bras qui dépasse de la roue. Ici, tu peux compter les dents qui déterminent un motif, déplacer le stylo pour voir d’où viennent les pointes et les boucles, et conserver les motifs sous forme de calques.

La ligne pâle montre tout le motif que le stylo va tracer. La couleur évolue sur une période du motif : un tronçon retracé garde donc sa couleur.

Les engrenages retrouvent leur position de départ lorsque les deux mêmes dents se rencontrent à nouveau. Il faut pour cela parcourir un nombre de dents correspondant à un nombre entier de tours pour chacun des deux engrenages. Le premier nombre qui convient est leur plus petit commun multiple. Avec $g = \gcd(R, r)$,

Chaque groupe de $r$ dents parcourues trace un pétale, c’est-à-dire un tronçon qui ne forme pas forcément une boucle fermée, et chaque groupe de $R$ dents correspond à un tour autour de la couronne fixe. Si le stylo est au centre, le motif est un simple cercle, achevé en un tour. Le nombre de pétales dépend donc du diviseur commun, pas de la taille de la roue : 96 et 36 dents donnent 8 pétales ; 96 et 35 en donnent 96. Le petit diagramme suit les dents qui se rencontrent, celles de la couronne à l’horizontale et celles de la roue à la verticale. Ses graduations, espacées de $g$, indiquent le début des pétales.

La roue ne peut pas glisser : à chaque instant, son point de contact avec la couronne est immobile, et elle tourne autour de ce point. Le stylo se déplace donc perpendiculairement au segment qui le relie au point de contact, à une vitesse proportionnelle à la longueur de ce segment. Bras affiche ce segment et le vecteur vitesse du stylo. Si le stylo est à l’intérieur du bord, le segment ne se réduit jamais à zéro : le stylo ne s’arrête jamais et le motif n’a pas de pointes. Sur le bord, le stylo atteint le point de contact et s’arrête une fois par pétale, ce qui produit une pointe, sauf dans le cas rectiligne décrit plus bas. Au-delà du bord, une fois par pétale, le stylo se déplace un moment à l’opposé du mouvement de la roue. Cela ouvre généralement chaque pointe en une boucle.

Soit θ l’angle parcouru par le centre de la roue autour de la couronne. Dans le plan complexe, la position du stylo s’écrit

Ce sont deux bras placés bout à bout, tournant chacun à vitesse angulaire constante : l’un va du centre de la couronne à celui de la roue, l’autre, de longueur $d$, va du centre de la roue au stylo.

Certains réglages donnent des courbes qui portent un nom. Avec le stylo sur le bord, le roulement intérieur trace une hypocycloïde : une deltoïde pour un rapport de 3 : 1 et une astroïde pour 4 : 1. Le roulement extérieur trace une épicycloïde, qui devient une cardioïde lorsque les deux engrenages ont la même taille. À l’intérieur, une roue deux fois plus petite que la couronne fait tourner ses deux bras à la même vitesse dans des sens opposés : un stylo à l’intérieur du bord trace une ellipse, et un stylo sur le bord parcourt un diamètre. C’est le couple de Tusi.

Ces courbes sont appelées hypotrochoïdes et épitrochoïdes. L’ingénieur britannique Denys Fisher a conçu le jouet Spirograph dans les années 1960.