Espirógrafo

En un espirógrafo, una rueda de $r$ dientes rueda por dentro o por fuera de una corona fija de $R$ dientes, engranando diente a diente. Un bolígrafo situado en la rueda, a una distancia $d = \rho r$ de su centro, va dibujando. Los dientes de ambos engranajes tienen la misma separación, de modo que, en una unidad adecuada, sus radios son $R$ y $r$. Cuando $\rho = 1$, el bolígrafo está en el borde; por encima de 1, está en un brazo que sobresale de la rueda. Aquí puedes contar los dientes que determinan un dibujo, mover el bolígrafo para ver cómo aparecen las puntas y los bucles, y conservar los dibujos como capas.

La línea tenue muestra todo el dibujo que trazará el bolígrafo. El color varía a lo largo del período del dibujo, por lo que un tramo que se vuelve a trazar conserva su color.

Los engranajes recuperan su posición inicial cuando vuelven a encontrarse los mismos dos dientes. Para ello, el número de dientes recorridos debe equivaler a un número entero de vueltas de cada engranaje. El primer número que lo cumple es su mínimo común múltiplo. Con $g = \gcd(R, r)$,

Cada $r$ dientes recorridos trazan un pétalo, un tramo que no tiene por qué ser un bucle cerrado, y cada $R$ dientes completan una vuelta alrededor de la corona fija. Con el bolígrafo en el centro, el dibujo es solo un círculo, que se completa en una vuelta. Así, el número de pétalos depende del divisor común, no del tamaño de la rueda: 96 y 36 dientes dan 8 pétalos; 96 y 35 dan 96. El pequeño diagrama sigue los dientes que se encuentran, los de la corona en horizontal y los de la rueda en vertical. Sus marcas, separadas por $g$, señalan dónde empiezan los pétalos.

La rueda no puede deslizarse, así que, en cada instante, el punto de contacto con la corona está en reposo y la rueda gira alrededor de él. Por eso, el bolígrafo se mueve perpendicularmente al segmento que une el punto de contacto con el bolígrafo, a una velocidad proporcional a su longitud. Brazos muestra ese segmento y el vector velocidad del bolígrafo. Si el bolígrafo está dentro del borde, el segmento nunca se reduce a cero: el bolígrafo no se detiene y el dibujo no tiene puntas. En el borde, el bolígrafo llega al punto de contacto y se detiene una vez por pétalo, lo que produce una punta, salvo en el caso de la línea recta que se explica más abajo. Fuera del borde, una vez por pétalo, el bolígrafo recorre un tramo en sentido contrario al avance de la rueda, lo que suele abrir cada punta hasta formar un bucle.

Sea θ el ángulo que ha recorrido el centro de la rueda alrededor de la corona. La posición del bolígrafo, expresada como número complejo, es

Son dos brazos unidos por sus extremos, cada uno girando a velocidad angular constante: uno va del centro de la corona al de la rueda; el otro, de longitud $d$, va del centro de la rueda al bolígrafo.

Algunos ajustes producen curvas con nombre propio. Con el bolígrafo en el borde, al rodar por dentro se traza una hipocicloide: una deltoide con una proporción de 3 : 1 y una astroide con 4 : 1. Al rodar por fuera se traza una epicicloide, que es una cardioide si los engranajes son iguales. Por dentro, una rueda de la mitad del tamaño de la corona hace girar sus dos brazos a la misma velocidad en sentidos opuestos. Así, un bolígrafo dentro del borde dibuja una elipse, y uno en el borde recorre un diámetro: el par de Tusi.

Estas curvas se llaman hipotrocoides y epitrocoides. El ingeniero británico Denys Fisher desarrolló el juguete Spirograph en la década de 1960.