Spirograf

Pada spirograf, roda bergigi $r$ menggelinding di sisi dalam atau luar cincin tetap bergigi $R$, dengan gigi-giginya saling bertaut. Pena pada roda, yang berjarak $d = \rho r$ dari pusatnya, menggambar pola. Jarak antargigi pada kedua roda gigi sama, sehingga dalam satuan yang sesuai jari-jarinya adalah $R$ dan $r$. Saat $\rho = 1$, pena berada di tepi roda; di atas 1, pena berada pada lengan yang menjulur ke luar roda. Di sini kamu bisa menghitung gigi yang menentukan pola, memindahkan pena untuk melihat bagaimana ujung runcing dan gelung terbentuk, serta menyimpan pola sebagai lapisan.

Garis samar menunjukkan seluruh pola yang akan digambar pena. Warna berubah sepanjang satu periode pola, sehingga bagian yang digambar ulang tetap memiliki warna yang sama.

Kedua roda gigi kembali ke posisi awal ketika dua gigi yang sama bertemu lagi. Untuk itu, jumlah gigi yang dilalui harus setara dengan sejumlah putaran penuh pada kedua roda gigi. Bilangan pertama yang memenuhi syarat ini adalah kelipatan persekutuan terkecilnya. Dengan $g = \gcd(R, r)$,

Setiap $r$ gigi yang dilalui menghasilkan satu kelopak, yaitu bagian kurva yang tidak harus berupa gelung tertutup, dan setiap $R$ gigi menghasilkan satu putaran mengelilingi cincin tetap. Jika pena berada di pusat roda, polanya hanya berupa lingkaran yang selesai dalam satu putaran. Jadi, jumlah kelopak bergantung pada faktor persekutuan, bukan ukuran roda: 96 dan 36 gigi menghasilkan 8 kelopak, sedangkan 96 dan 35 menghasilkan 96. Diagram kecil melacak gigi yang saling bertemu, gigi cincin pada arah mendatar dan gigi roda pada arah tegak. Tanda-tandanya, dengan selang $g$, menunjukkan awal setiap kelopak.

Roda tidak dapat tergelincir, sehingga pada setiap saat titik yang menyentuh cincin diam dan roda berputar terhadap titik itu. Karena itu, pena bergerak tegak lurus terhadap garis dari titik kontak ke pena, dengan kelajuan yang sebanding dengan panjang garis tersebut. Lengan menampilkan garis itu dan vektor kecepatan pena. Jika pena berada di dalam tepi roda, panjang garis tidak pernah menjadi nol, sehingga pena tidak pernah berhenti dan pola tidak memiliki ujung runcing. Jika pena berada di tepi, pena mencapai titik kontak dan berhenti sekali setiap kelopak. Ini membentuk ujung runcing, kecuali pada kasus garis lurus di bawah. Di luar tepi, sekali setiap kelopak pena bergerak sejenak berlawanan dengan arah gerak roda, dan biasanya ini membuka setiap ujung runcing menjadi gelung.

Misalkan θ adalah sudut yang telah ditempuh pusat roda saat mengelilingi cincin. Sebagai bilangan kompleks, posisi pena adalah

Ini adalah dua lengan yang disambung ujung ke ujung, masing-masing berputar dengan kecepatan sudut tetap: satu dari pusat cincin ke pusat roda, dan satu lagi sepanjang $d$ dari pusat roda ke pena.

Beberapa pengaturan menghasilkan kurva yang memiliki nama khusus. Dengan pena di tepi roda, gerak menggelinding di dalam menghasilkan hiposikloid: deltoid pada rasio 3 : 1 dan astroid pada 4 : 1. Gerak menggelinding di luar menghasilkan episikloid, yang menjadi kardioid jika kedua roda gigi sama besar. Saat menggelinding di dalam, roda yang ukurannya setengah cincin membuat kedua lengan berputar sama cepat dalam arah berlawanan. Pena di dalam tepi roda pun menggambar elips, sedangkan pena di tepi bergerak sepanjang diameter: pasangan Tusi.

Kurva-kurva ini disebut hipotrokoid dan epitrokoid. Insinyur Inggris Denys Fisher mengembangkan mainan Spirograph pada 1960-an.