Спирограф

В спирографе колесо с $r$ зубьями катится внутри или снаружи неподвижного кольца с $R$ зубьями, сцепляясь с ним зуб за зубом. Перо на колесе, на расстоянии $d = \rho r$ от его центра, рисует узор. Шаг зубьев у обеих шестерён одинаков, поэтому в подходящих единицах их радиусы равны $R$ и $r$. При $\rho = 1$ перо находится на ободе, а при значении больше 1 — на рычаге, выступающем за пределы колеса. Здесь можно посчитать зубья, определяющие узор, передвинуть перо и увидеть, откуда берутся острые точки и петли, а затем сохранить узоры в виде слоёв.

Бледная линия показывает весь узор, который нарисует перо. Цвет меняется в пределах периода узора, поэтому повторно пройденный участок сохраняет свой цвет.

Шестерни возвращаются в исходное положение, когда снова встречаются те же два зуба. Для этого число пройденных зубьев должно соответствовать целому числу оборотов обеих шестерён. Первое такое число — их наименьшее общее кратное. При $g = \gcd(R, r)$

Каждые $r$ пройденных зубьев дают один лепесток — участок кривой, который не обязательно образует замкнутую петлю. Каждые $R$ зубьев дают один обход неподвижного кольца. Если перо находится в центре колеса, узор — просто окружность, завершённая за один обход. Значит, число лепестков зависит от общего делителя, а не от размера колеса: 96 и 36 зубьев дают 8 лепестков, а 96 и 35 — 96. На маленькой диаграмме отмечаются встречающиеся зубья: зубья кольца по горизонтали, колеса — по вертикали. Метки с шагом $g$ показывают начала лепестков.

Колесо не может проскальзывать, поэтому в каждый момент точка касания с кольцом неподвижна, а колесо вращается вокруг неё. Перо движется перпендикулярно отрезку, соединяющему точку касания с пером, со скоростью, пропорциональной длине этого отрезка. Рычаги показывают отрезок и вектор скорости пера. Если перо находится внутри обода, длина отрезка никогда не обращается в ноль: перо не останавливается, и у узора нет острых точек. На ободе перо достигает точки касания и останавливается один раз на лепесток, образуя острую точку, кроме описанного ниже случая прямой линии. За ободом перо один раз на лепесток некоторое время движется против хода колеса, и обычно это раскрывает каждую острую точку в петлю.

Пусть θ — угол, пройденный центром колеса вокруг кольца. Положение пера в виде комплексного числа равно

Это два соединённых концами рычага, каждый из которых вращается с постоянной угловой скоростью: один идёт от центра кольца к центру колеса, другой, длиной $d$, — от центра колеса к перу.

При некоторых настройках получаются кривые с собственными названиями. Если перо на ободе, качение внутри даёт гипоциклоиду: при отношении 3 : 1 — дельтоиду, а при 4 : 1 — астроиду. Качение снаружи даёт эпициклоиду, а при равных шестернях — кардиоиду. Если колесо вдвое меньше кольца и катится внутри, два рычага вращаются с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. Тогда перо внутри обода рисует эллипс, а перо на ободе движется вдоль диаметра: это пара Туси.

Эти кривые называются гипотрохоидами и эпитрохоидами. Британский инженер Денис Фишер разработал игрушку Spirograph в 1960-х годах.