叶序

叶序是叶、小花或种子在植物上的排列方式。向日葵花盘上的种子排成两族螺线，两族的条数常常是相邻的斐波那契数。在这一页，你可以在一盘种子的任何地方数螺线，看角度差一点会怎样，再看一条不含角度的规则怎样自己走到黄金角附近。在“定角”下，$N$颗种子里的第$k$颗（从0数起）放在

每颗种子比上一颗多转α；开平方让每颗新种子添上同样面积的一圈，至于种子沿着圆圈铺得匀不匀，要看转角。这是Helmut Vogel的向日葵花盘模型（1979）。

蓝圈是数螺线的地方。页面在这一圈上找出眼睛看到的螺线，用黄线画出来，最近的一族画实线，另一族画虚线，并在它们穿过圆圈的地方编号。

种子之间并没有连线，螺线是眼睛连出来的。第$k + m$颗比第$k$颗多转了$m\alpha$。$m\alpha$接近整数圈时，两颗几乎指向同一方向；要是半径也相近，它们就是邻居。这时把每颗种子和它后面第$m$颗连起来，就描出一族$m$条螺线。黄金角是

在默认的圆圈上，

所以相隔34颗和相隔55颗的种子最近，眼睛看到34条螺线和55条螺线。差一点不到整圈的一族往外朝一个方向绕，超过一点的一族朝另一个方向绕。

为什么是斐波那契数？让$m\alpha$最接近整圈的那些$m$，可以从α（以圈为单位）的连分数读出来。黄金角的连分数，2后面的项全是1：

所以它最好的那些分数，分母都是斐波那契数。这些分数轮流落在α/360°的两侧，所以在黄金角下，两族螺线绕的方向相反。圆圈上看到哪一对，取决于圆圈在哪里。相隔$m$颗的两颗种子，半径差一点，方向也差一点；越往外，半径的差越不要紧，方向的差越要紧。所以越往外，方向转回得更近的一族就会接替，哪怕它的种子相隔更多颗；条数也就一次升一个斐波那契数。

离黄金角很近的角，看起来可以完全不同，连分数说明了原因。连分数里的大项表示方向转回得特别近，这可能让旋臂格外明显。黄金角的连分数在2后面全是1，方向始终铺得均匀。嵌入屏把前面几颗种子的方向画在一个圆上：不论有多少颗，最长的空隙至多是最短的$\varphi^2 \approx 2.618$倍。

植物并不量角度，“找空处”也不给角度。生长的茎尖一个接一个地长出原基，也就是叶或小花的芽。1868年，Wilhelm Hofmeister观察到：新的原基长在老原基之间最大的空当里，老原基随后离茎尖越来越远。“找空处”运行的是这条规则的简化模型。从默认的起点出发，起初每次出生之间老原基被推得很远，新的原基都长在上一个的对面。推得越来越少以后，角度离开180°，在137.5°附近来回摆，最后停在137.47°附近，螺线也一步步升到更大的斐波那契数。从别的起点出发，同一条规则也可能停在别处，例如99.7°附近。