Filotaxis

La filotaxis es la disposición de hojas, flores pequeñas o semillas en una planta. En un capítulo de girasol, las semillas forman dos familias de espirales cuyos números suelen ser números de Fibonacci consecutivos. Aquí puedes contar las espirales en cualquier parte de un disco de semillas, ver qué cambia al variar un poco el ángulo y observar cómo una regla sin ángulo prefijado llega cerca del ángulo áureo. En Ángulo fijo, la semilla $k$ de un total de $N$, contando desde 0, está en

Cada semilla gira α más que la anterior, y la raíz cuadrada asigna a cada nueva semilla un anillo de igual área. Lo uniforme que sea su distribución alrededor de los anillos depende del ángulo. Este es el modelo de un capítulo de girasol de Helmut Vogel (1979).

El círculo azul es donde cuentas. Allí, la página encuentra las espirales que percibe el ojo y las dibuja en amarillo: líneas continuas para la familia de vecinos más próximos y discontinuas para la otra. Las numera donde cruzan el círculo.

Ninguna semilla está unida a otra: las espirales las forma el ojo. La semilla $k + m$ ha girado $m\alpha$ más que la semilla $k$. Cuando $m\alpha$ está cerca de un número entero de vueltas, ambas apuntan casi en la misma dirección y, si sus radios también son parecidos, son vecinas. Unir cada semilla con la que está $m$ posiciones después traza entonces una familia de $m$ espirales. El ángulo áureo es

y en el círculo predeterminado,

por lo que las semillas separadas por 34 posiciones y por 55 posiciones son las más cercanas, y el ojo ve 34 espirales y 55. Una familia cuyo giro queda un poco por debajo de un número entero de vueltas se enrolla hacia fuera en un sentido; una que lo supera un poco se enrolla en el otro.

¿Por qué números de Fibonacci? Los valores de $m$ para los que $m\alpha$ se acerca más a un número entero de vueltas se obtienen de la fracción continua de α expresado como fracción de vuelta. Para el ángulo áureo, todos los términos después del 2 son 1,

así que sus mejores aproximaciones racionales tienen denominadores de Fibonacci. Caen alternativamente por encima y por debajo de α/360°, y por eso las dos familias se enrollan en sentidos opuestos con el ángulo áureo. El par que muestra el círculo depende de dónde esté. Dos semillas separadas por $m$ posiciones difieren un poco en radio y un poco en dirección. Hacia fuera, la diferencia de radio importa menos y la de dirección más. Así, más afuera toma el relevo una familia cuya dirección vuelve más cerca de la inicial, aunque sus semillas estén más separadas en la secuencia, y los recuentos avanzan de un número de Fibonacci al siguiente.

Los ángulos cercanos al ángulo áureo pueden producir imágenes muy distintas, y la fracción continua explica por qué. Un término grande indica un retorno inusualmente próximo a la misma dirección, lo que puede hacer que destaquen los brazos espirales. El ángulo áureo, cuyos términos después del 2 son todos 1, mantiene las direcciones bien repartidas. El pequeño diagrama muestra las direcciones de las primeras semillas sobre un círculo: sea cual sea su número, el hueco más largo es como máximo $\varphi^2 \approx 2.618$ veces el más corto.

Las plantas no miden ángulos, y Más espacio no fija ninguno. Un ápice en crecimiento produce un primordio tras otro, cada uno el brote inicial de una hoja o una flor pequeña. En 1868, Wilhelm Hofmeister observó que un nuevo primordio aparece en el mayor espacio entre los anteriores, que después se alejan del ápice. Más espacio ejecuta un modelo simplificado de esta regla. Desde el estado inicial predeterminado, mientras los primordios anteriores se desplazan mucho hacia fuera entre nacimientos, cada nuevo primordio aparece frente al anterior. Al reducirse ese desplazamiento, el ángulo se separa de 180°, oscila alrededor de 137,5° y se estabiliza cerca de 137,47°, mientras los recuentos de espirales avanzan por la sucesión de Fibonacci. Desde otros estados iniciales, la misma regla puede estabilizarse en otro valor, por ejemplo cerca de 99,7°.