Phyllotaxie

La phyllotaxie est la disposition des feuilles, des fleurons ou des graines sur une plante. Dans un capitule de tournesol, les graines forment deux familles de spirales, dont les nombres sont souvent deux nombres de Fibonacci consécutifs. Ici, tu peux compter les spirales n’importe où sur un disque de graines, voir l’effet d’un petit changement d’angle et observer une règle sans angle imposé aboutir près de l’angle d’or. En mode Angle fixe, la graine $k$ parmi $N$, en comptant à partir de 0, se trouve en

Chaque graine tourne de α de plus que la précédente, et la racine carrée attribue à chaque nouvelle graine la même aire d’anneau. La régularité de leur répartition le long des anneaux dépend de l’angle. C’est le modèle de capitule de tournesol de Helmut Vogel (1979).

Le cercle bleu est l’endroit où tu comptes. La page y repère les spirales que l’œil voit et les trace en jaune, en trait plein pour la famille des voisins les plus proches et en pointillé pour l’autre. Elle les numérote là où elles traversent le cercle.

Aucune graine n’est reliée à une autre : c’est l’œil qui dessine les spirales. La graine $k + m$ a tourné de $m\alpha$ de plus que la graine $k$. Quand $m\alpha$ est proche d’un nombre entier de tours, les deux pointent presque dans la même direction. Si leurs rayons sont aussi proches, elles sont voisines. Relier chaque graine à celle située $m$ rangs plus loin trace alors une famille de $m$ spirales. L’angle d’or vaut

et, sur le cercle par défaut,

Les graines séparées de 34 rangs et celles séparées de 55 rangs sont donc les plus proches, et l’œil voit 34 spirales et 55. Une famille dont la rotation reste juste en dessous d’un nombre entier de tours s’enroule vers l’extérieur dans un sens ; une famille qui dépasse un peu ce nombre s’enroule dans l’autre.

Pourquoi des nombres de Fibonacci ? Les valeurs de $m$ pour lesquelles $m\alpha$ approche le mieux un nombre entier de tours se lisent dans la fraction continue de α exprimé en fraction de tour. Pour l’angle d’or, tous les termes après le 2 valent 1,

Ses meilleures approximations rationnelles ont donc des dénominateurs de Fibonacci. Elles sont alternativement au-dessus et au-dessous de α/360°, ce qui explique pourquoi, à l’angle d’or, les deux familles s’enroulent en sens opposés. Le couple visible sur le cercle dépend de sa position. Deux graines séparées de $m$ rangs diffèrent un peu en rayon et un peu en direction. Vers l’extérieur, la différence de rayon compte moins et celle de direction davantage. Une famille dont la direction revient plus près prend donc le relais, même si ses graines sont plus éloignées dans la suite, et les nombres de spirales passent d’un nombre de Fibonacci au suivant.

Des angles proches de l’angle d’or peuvent donner des images très différentes ; la fraction continue explique pourquoi. Un grand terme signale un retour inhabituellement précis dans la même direction, qui peut faire ressortir des bras spiralés. L’angle d’or, dont tous les termes après le 2 valent 1, maintient une répartition régulière des directions. Le petit diagramme montre les directions des premières graines sur un cercle : quel que soit leur nombre, le plus grand intervalle est au plus $\varphi^2 \approx 2.618$ fois le plus petit.

Les plantes ne mesurent pas d’angles, et Espace maximal n’en impose aucun. Un sommet en croissance produit un primordium après l’autre, chacun étant l’ébauche d’une feuille ou d’un fleuron. En 1868, Wilhelm Hofmeister a observé qu’un nouveau primordium apparaît dans le plus grand espace entre les plus anciens, qui s’éloignent ensuite du sommet. Espace maximal applique un modèle simplifié de cette règle. Depuis l’état initial par défaut, tant que les anciens primordiums sont poussés loin vers l’extérieur entre deux naissances, chaque nouveau apparaît à l’opposé du précédent. Quand cette poussée diminue, l’angle s’écarte de 180°, oscille autour de 137,5° et se stabilise près de 137,47°. Les nombres de spirales augmentent alors suivant la suite de Fibonacci. Depuis d’autres états initiaux, la même règle peut se stabiliser ailleurs, par exemple près de 99,7°.