葉序

葉序とは、植物の葉や小花、種子の並び方です。ヒマワリの花盤では、種子が2組のらせんを作り、その本数は隣り合うフィボナッチ数になることがよくあります。ここでは種子の円盤の好きな位置でらせんを数え、角度を少し変えると何が起こるかを見たり、角度を指定しない規則が黄金角に近づく様子を観察したりできます。角度を固定では、$N$個の種子のうち、0から数えて$k$番目の種子を次の位置に置きます。

各種子は前の種子よりαだけ先へ回り、平方根によって、新しい種子1個ごとに同じ面積の輪が加わります。種子が輪に沿ってどれほど均等に分布するかは角度次第です。これはヘルムート・フォーゲルのヒマワリの花盤モデル（1979年）です。

青い円はらせんを数える場所です。ページはそこで目に見えるらせんを見つけ、最も近い隣同士を結ぶ組を黄色の実線、もう一方を破線で描きます。円を横切る位置には番号を付けます。

種子同士がつながっているわけではなく、らせんを作っているのは目です。種子$k + m$は種子$k$より$m\alpha$だけ先へ回っています。$m\alpha$が整数回の回転に近いと、2つはほぼ同じ方向を向き、半径も近ければ隣同士になります。そこで各種子を$m$番後の種子と結ぶと、$m$本のらせんからなる1組ができます。黄金角は

で、初期設定の円では

となります。そのため、番号の差が34と55の種子同士が最も近く、目には34本と55本のらせんが見えます。整数回の回転に少し届かない組は外へ向かって一方に巻き、少し超える組は反対に巻きます。

なぜフィボナッチ数なのでしょうか。$m\alpha$が整数回の回転に最も近づく$m$の値は、αを1回転に対する割合で表した連分数から読み取れます。黄金角では、2の後の項がすべて1なので、

最もよい近似分数の分母はフィボナッチ数になります。これらの分数はα/360°の上下に交互に現れます。そのため黄金角では、2組のらせんが反対向きに巻きます。円上にどの組が見えるかは、円の位置によります。番号の差が$m$の2つの種子は、半径も方向も少し異なります。外へ行くほど半径の差の影響が小さくなり、方向の差の影響が大きくなります。したがって外側では、番号の差が大きくても方向がより近くに戻る組が交代して現れ、本数はフィボナッチ数を1つずつ上がっていきます。

黄金角に近い角度でも、まったく違う模様になることがあります。理由は連分数にあります。大きな項は、方向が元の方向に非常に近く戻ることを示し、らせんの腕が際立つ原因になります。黄金角では2の後の項がすべて1なので、方向の分布が均等に保たれます。小さな図は最初の種子たちの方向を円上に表示します。何個まで並べても、最も長い隙間は最も短い隙間の$\varphi^2 \approx 2.618$倍以下です。

植物は角度を測りません。最も空いている場所でも角度は指定しません。成長する先端は原基を次々と作ります。原基とは葉や小花のもとになる芽です。1868年、ヴィルヘルム・ホフマイスターは、新しい原基が古い原基の間の最も広い隙間に現れ、古い原基はその後先端から離れていくと観察しました。最も空いている場所は、この規則を簡略化したモデルです。初期設定から始めると、新しい原基が生まれる間に古い原基が大きく外へ押し出されているうちは、新しい原基は毎回1つ前の反対側に現れます。押し出す量が減ると、角度は180°から離れ、137.5°付近で揺れながら137.47°近くに落ち着き、らせんの本数もフィボナッチ数に沿って増えます。別の初期状態からは、同じ規則でも99.7°付近など別の角度に落ち着くことがあります。