Филлотаксис

Филлотаксис — расположение листьев, отдельных цветков или семян на растении. В корзинке подсолнечника семена образуют два семейства спиралей, а их количества часто оказываются соседними числами Фибоначчи. Здесь можно посчитать спирали в любом месте диска семян, увидеть эффект небольшого изменения угла и понаблюдать, как правило без заданного угла приводит к значению вблизи золотого угла. В режиме Постоянный угол семя $k$ из $N$, при счёте от 0, находится в точке

Каждое семя повёрнуто на α дальше предыдущего, а квадратный корень выделяет каждому новому семени кольцо той же площади. Насколько равномерно семена распределятся вдоль колец, зависит от угла. Это модель корзинки подсолнечника Хельмута Фогеля (1979).

Синий круг — место подсчёта. На нём страница находит спирали, которые видит глаз, и рисует их жёлтым: семейство ближайших соседей сплошными линиями, другое — пунктирными. Там, где спирали пересекают круг, стоят их номера.

Семена ничем не соединены: спирали создаёт глаз. Семя $k + m$ повёрнуто на $m\alpha$ дальше семени $k$. Когда $m\alpha$ близко к целому числу оборотов, оба направлены почти одинаково. Если близки и их радиусы, они оказываются соседями. Соединив каждое семя с тем, которое идёт на $m$ позиций позже, получим семейство из $m$ спиралей. Золотой угол равен

а на круге по умолчанию

поэтому ближе всего друг к другу оказываются семена с разницей номеров 34 и 55, и глаз видит 34 спирали и 55. Семейство, которому немного недостаёт до целого числа оборотов, при движении наружу закручивается в одну сторону, а семейство с небольшим избытком — в другую.

Почему числа Фибоначчи? Значения $m$, при которых $m\alpha$ ближе всего к целому числу оборотов, можно прочитать из цепной дроби для α, выраженного в долях оборота. У золотого угла все члены после 2 равны 1,

поэтому знаменатели его лучших рациональных приближений — числа Фибоначчи. Эти дроби попеременно больше и меньше α/360°, поэтому при золотом угле два семейства закручиваются в противоположные стороны. Какая пара видна на круге, зависит от его положения. У двух семян с разницей номеров $m$ немного различаются и радиусы, и направления. Чем дальше наружу, тем меньше значит разница радиусов и тем больше — разница направлений. Поэтому дальше от центра на смену приходит семейство с более точным возвращением к прежнему направлению, хотя его семена дальше друг от друга в последовательности. Числа спиралей так переходят от одного числа Фибоначчи к следующему.

Углы вблизи золотого могут давать совершенно другую картину, и цепная дробь объясняет почему. Большой член означает необычно точное возвращение к прежнему направлению, из-за чего могут выделяться спиральные рукава. Золотой угол, у которого все члены после 2 равны 1, сохраняет равномерное распределение направлений. Маленькая диаграмма показывает направления первых семян на круге: сколько бы их ни было, самый большой промежуток не более чем в $\varphi^2 \approx 2.618$ раза длиннее самого маленького.

Растения не измеряют углы, и режим Больше места тоже не задаёт угол. Растущая верхушка создаёт один примордий за другим — зачатки листьев или отдельных цветков. В 1868 году Вильгельм Гофмейстер заметил, что новый примордий появляется в самом большом промежутке между более старыми, которые затем отдаляются от верхушки. Больше места запускает упрощённую модель этого правила. При начальном состоянии по умолчанию, пока старые примордии сильно сдвигаются наружу между появлениями новых, каждый новый возникает напротив предыдущего. По мере уменьшения сдвига угол отходит от 180°, колеблется около 137,5° и устанавливается вблизи 137,47°, а числа спиралей растут по последовательности Фибоначчи. При других начальных состояниях то же правило может привести к другому углу, например около 99,7°.