Узор Тьюринга

На этой странице узоры Тьюринга возникают в безразмерной модели Шнакенберга с активатором $u$ и топливом $v$:

Активатор и топливо поступают со скоростями $a$ и $b$. Член $u^2 v$ отвечает реакции $2u + v \to 3u$, в которой активатор превращает топливо в дополнительный активатор; сам активатор также распадается. Топливо диффундирует в $d$ раз быстрее активатора. Состав фиксирован: $a = 0.05$ и $b = 1.6$, меняется только $d$. Здесь можно увидеть возникновение узора при переходе порога, сравнить его с длинами волн, рост которых предсказывает теория, и добавить активатор кистью.

Насыщенность цвета показывает количество активатора или топлива, выбранного в разделе Показать. Диапазон подстраивается автоматически и указан в углу. Обе части малого графика используют одну ось длин волн. Вверху — теория: как быстро растёт небольшое возмущение каждой длины волны при данном $d$. Внизу — измерение: сколько каждой длины волны сейчас содержится в изображении. Растущая полоса выделена фоном в обеих частях, поэтому можно наблюдать, как измеренные столбцы поднимаются внутри предсказанной теорией полосы.

Почему распространение может создавать узор? Реакция уравновешивается в однородной смеси $u_0 = a + b = 1.65$ и $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$ и сама по себе там устойчива: в хорошо перемешанном сосуде малое возмущение затухает. Диффузия сама по себе тоже лишь выравнивает распределение.

Словами: ближняя активация, дальнее подавление. Там, где активатора становится немного больше, он производит ещё больше себя и расходует топливо вокруг. Быстро диффундирующее топливо распространяет этот дефицит на соседние участки, где активатора теперь становится меньше. В итоге один участок растёт, а его окружение подавляется; расстояние определяется тем, как далеко распространяется нехватка. Здесь подавление вызвано нехваткой топлива, а не отдельным ингибитором. Когда оба вещества распространяются одинаково быстро, дефицит не выходит за пределы бугорка, и выравнивание берёт верх.

Для малых возмущений около однородной смеси линейная теория описывает это точно. Волна $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ с длиной $2\pi/k$ сохраняет форму при диффузии, поэтому каждая длина волны растёт или затухает независимо. Топливо должно распространяться быстрее активатора, но одного этого мало: при данном составе скорость роста впервые достигает нуля при

Ниже $d_c$ все возмущения затухают. Выше растёт полоса длин волн около 10, расширяющаяся с увеличением $d$. Сосуд допускает лишь определённые волны, поэтому чуть выше $d_c$ в этой полосе может не оказаться ни одной допустимой волны. На сетке страницы критическая длина волны равна 9,86; малый график и индикатор показывают сеточные значения. Линейная теория говорит, какие длины волн растут первыми, а не каким будет конечный узор.

Линейная теория выбирает длину волны, а не форму. Компоненты нужной длины волны могут складываться в полосы, шестиугольную решётку пятен или ячеистую структуру отверстий. Нелинейные члены решают, что вырастет и сохранится. В этой модели три волны под углами 120° способны усиливать друг друга, что благоприятствует шестиугольникам вблизи порога.

В большом сосуде расстояния задаёт химия, а не сосуд: больший сосуд вмещает больше пятен, а не более крупные пятна. Форма важнее всего там, где ширина области примерно равна длине волны. Пример Туловище и хвост показывает пятна в широком туловище и поперечные полосы на узком хвосте.

Алан Тьюринг предложил механизм в 1952 году в работе «The Chemical Basis of Morphogenesis», а Юрген Шнакенберг ввёл эту модель в 1979 году.