نمط تورنغ

تُنشئ الصفحة أنماط تورينغ باستخدام نموذج شناكنبرغ اللابُعدي، لمنشّط ⁦$u$⁩ ووقود ⁦$v$⁩:

يُمدّ المنشّط والوقود بمعدلين ⁦$a$⁩ و⁦$b$⁩. يمثّل الحد ⁦$u^2 v$⁩ التفاعل ⁦$2u + v \to 3u$⁩، الذي يحوّل فيه المنشّط الوقود إلى مزيد من المنشّط، كما يتناقص المنشّط أيضًا بالتحلل. ينتشر الوقود بسرعة تساوي ⁦$d$⁩ أمثال سرعة انتشار المنشّط. تبقى الوصفة عند ⁦$a = 0.05$⁩ و⁦$b = 1.6$⁩، ولا يتغير إلا ⁦$d$⁩. يمكنك هنا مشاهدة ظهور نمط بعد تجاوز عتبة، ومقارنته بالأطوال الموجية التي تتنبأ النظرية بنموها، وإضافة المنشّط بفرشاة.

تبيّن شدة اللون مقدار المنشّط، أو الوقود عند اختياره من اعرض، ضمن نطاق تلقائي مكتوب في الزاوية. يتشارك جزآ الرسم الصغير محورًا واحدًا للطول الموجي. الجزء العلوي نظري: كم تبلغ سرعة نمو تموج صغير بكل طول موجي عند هذه القيمة من ⁦$d$⁩؟ والسفلي قياس: كم تحتوي الصورة الآن من كل طول موجي؟ تُظلَّل حزمة الأطوال الموجية النامية في الجزأين، كي ترى أعمدة القياس ترتفع داخل الحزمة التي تتنبأ بها النظرية.

كيف يصنع الانتشار نمطًا؟ يتوازن التفاعل عند خليط متجانس، ⁦$u_0 = a + b = 1.65$⁩ و⁦$v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$⁩، ويكون مستقرًا هناك حين يعمل وحده: في وعاء جيد الخلط، يتلاشى التغير الصغير. والانتشار وحده لا يفعل إلا تسوية الفروق.

بكلمات: تنشيط قصير المدى، وتثبيط طويل المدى. حيث يزيد المنشّط قليلًا، يصنع مزيدًا من نفسه ويستهلك الوقود المحيط. والوقود، لسرعة انتشاره، ينقل هذا النقص إلى الجوار، حيث يقل المنشّط عندئذ. هكذا ينمو موضع وتُثبَّط المناطق المحيطة، على مسافة يحددها مدى انتشار النقص. التثبيط هنا سببه نقص الوقود، وليس وجود مثبّط مستقل. وعندما ينتشر الاثنان بالسرعة نفسها، لا يصل النقص أبعد من النتوء، وتغلب التسوية.

بالنسبة إلى التموجات الصغيرة حول الخليط المتجانس، تجعل النظرية الخطية هذا التفسير دقيقًا. يحتفظ التموج ⁦$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$⁩ ذو الطول الموجي ⁦$2\pi/k$⁩ بشكله تحت الانتشار، فينمو كل طول موجي أو يتلاشى مستقلًا. يجب أن ينتشر الوقود أسرع من المنشّط، لكن ذلك وحده لا يكفي: لهذه الوصفة، يبلغ معدل النمو الصفر لأول مرة عند

دون ⁦$d_c$⁩ تتلاشى جميع التموجات. وفوقها تنمو حزمة أطوال موجية حول ⁦10⁩، وتتسع كلما ازدادت ⁦$d$⁩. لا يتسع الوعاء إلا لتموجات معينة، لذا قد لا يتسع لأي تموج داخل الحزمة عند تجاوز ⁦$d_c$⁩ قليلًا. على شبكة هذه الصفحة، يبلغ الطول الموجي الحرج ⁦9.86⁩، ويعطي الرسم الصغير والقراءة قيم الشبكة. تخبرنا النظرية الخطية بالأطوال الموجية التي تنمو أولًا، لا بالحالة النهائية للنمط.

تختار النظرية الخطية طولًا موجيًا، لا شكلًا. يمكن أن تنتظم مكونات الطول المناسب في خطوط، أو صفيف سداسي من البقع، أو ثقوب كقرص العسل؛ وتحدد الحدود غير الخطية أيها ينمو ويدوم. في هذا النموذج، تستطيع ثلاثة تموجات بينها زوايا ⁦120°⁩ أن تعزز بعضها بعضًا، مما يرجّح الترتيب السداسي قرب العتبة.

في الوعاء الكبير، تحدد الكيمياء المسافات لا الوعاء: الوعاء الأكبر يتسع لبقع أكثر، لا لبقع أكبر. ويكون أثر الشكل أشد عندما يضيق عرض المنطقة إلى نحو طول موجي واحد. يعرض مثال جسم وذيل بقعًا في الجسم العريض وخطوطًا عرضية على الذيل الضيق.

اقترح آلان تورينغ الآلية سنة ⁦1952⁩ في «⁦The Chemical Basis of Morphogenesis⁩»، وقدّم يورغن شناكنبرغ هذا النموذج سنة ⁦1979⁩.