Turing-Muster

Diese Seite erzeugt Turing-Muster im dimensionslosen Schnakenberg-Modell mit einem Aktivator $u$ und einem Brennstoff $v$:

Aktivator und Brennstoff werden mit den Raten $a$ und $b$ zugeführt. Der Term $u^2 v$ steht für die Reaktion $2u + v \to 3u$, bei der der Aktivator Brennstoff in mehr Aktivator umwandelt. Der Aktivator zerfällt außerdem. Der Brennstoff diffundiert $d$-mal so schnell wie der Aktivator. Die Zusammensetzung bleibt bei $a = 0.05$ und $b = 1.6$; nur $d$ ändert sich. Hier kannst du beobachten, wie jenseits einer Schwelle ein Muster entsteht, es mit den theoretisch wachsenden Wellenlängen vergleichen und mit einem Pinsel Aktivator hinzufügen.

Die Farbstärke zeigt die Menge des Aktivators oder, unter Anzeigen wählbar, des Brennstoffs. Der automatisch angepasste Wertebereich steht in der Ecke. Die kleine Grafik verwendet für beide Teile dieselbe Wellenlängenachse. Oben steht die Theorie: Wie schnell wächst bei diesem $d$ eine kleine Welle der jeweiligen Wellenlänge? Unten steht die Messung: Wie viel von jeder Wellenlänge steckt gerade im Bild? Der wachsende Wellenlängenbereich ist in beiden Teilen hinterlegt. So siehst du, wie die gemessenen Balken innerhalb des theoretisch vorhergesagten Bereichs ansteigen.

Warum kann Ausbreitung ein Muster erzeugen? Die Reaktion hat bei der gleichmäßigen Mischung $u_0 = a + b = 1.65$ und $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$ ein Gleichgewicht. Für sich genommen ist sie dort stabil: In einem gut durchmischten Gefäß klingt eine kleine Störung ab. Auch Diffusion allein gleicht nur Unterschiede aus.

In Worten: Aktivierung auf kurze Entfernung, Hemmung auf große Entfernung. Wo der Aktivator ein wenig zunimmt, erzeugt er mehr von sich selbst und verbraucht Brennstoff in seiner Umgebung. Der schnell diffundierende Brennstoff trägt diesen Mangel in die Nachbarschaft, wo der Aktivator nun abnimmt. So wächst eine Stelle, während ihre Umgebung unterdrückt wird. Der Abstand richtet sich danach, wie weit sich der Mangel ausbreitet. Die Hemmung entsteht hier durch Brennstoffmangel, nicht durch einen eigenen Hemmstoff. Diffundieren beide gleich schnell, reicht der Mangel nicht über die Erhebung hinaus, und der Ausgleich setzt sich durch.

Für kleine Wellen um die gleichmäßige Mischung beschreibt die lineare Theorie das genau. Eine Welle $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ mit Wellenlänge $2\pi/k$ behält bei Diffusion ihre Form. Daher wächst oder schrumpft jede Wellenlänge für sich. Der Brennstoff muss schneller diffundieren als der Aktivator, doch das allein reicht nicht: Bei dieser Zusammensetzung erreicht die Wachstumsrate erstmals null bei

Unterhalb von $d_c$ klingen alle Wellen ab. Oberhalb wächst ein Wellenlängenbereich um 10, der mit zunehmendem $d$ breiter wird. Ein Gefäß lässt nur bestimmte Wellen zu; knapp oberhalb von $d_c$ liegt deshalb womöglich keine davon im wachsenden Bereich. Auf dem Gitter dieser Seite beträgt die kritische Wellenlänge 9,86. Die kleine Grafik und die Anzeige geben die Gitterwerte an. Die lineare Theorie sagt, welche Wellenlängen zuerst wachsen, nicht, welchen Endzustand das Muster erreicht.

Die lineare Theorie wählt eine Wellenlänge, keine Form. Komponenten der passenden Wellenlänge können sich zu Streifen, zu sechseckig angeordneten Flecken oder zu wabenförmigen Löchern zusammensetzen. Die nichtlinearen Terme entscheiden, was wächst und bestehen bleibt. In diesem Modell können sich drei Wellen im Winkel von 120° gegenseitig verstärken. Das begünstigt nahe der Schwelle sechseckige Anordnungen.

In einem großen Gefäß bestimmt die Chemie den Abstand, nicht das Gefäß: Ein größeres Gefäß enthält mehr Flecken, keine größeren. Die Form wirkt sich am stärksten aus, wenn das Gebiet etwa so schmal wie eine Wellenlänge ist. Das Beispiel Körper und Schwanz zeigt Flecken im breiten Körper und Querstreifen im schmalen Schwanz.

Alan Turing schlug den Mechanismus 1952 in „The Chemical Basis of Morphogenesis“ vor. Jürgen Schnakenberg führte dieses Modell 1979 ein.