튜링 패턴

이 페이지는 활성제 $u$와 연료 $v$를 사용하는 무차원 슈나켄베르크 모형으로 튜링 패턴을 만듭니다.

활성제과 연료는 각각 $a$, $b$의 속도로 공급됩니다. $u^2 v$ 항은 반응 $2u + v \to 3u$을 나타냅니다. 활성제이 연료를 자신과 같은 물질로 바꾸어 늘어나는 반응이며, 활성제 자체는 감소하기도 합니다. 연료는 활성제보다 $d$배 빠르게 확산합니다. 배합은 $a = 0.05$, $b = 1.6$으로 고정하고 $d$만 바꿉니다. 여기서는 문턱값을 넘어서 무늬가 생기는 모습을 보고, 이론상 성장하는 파장과 비교하며, 붓으로 활성제을 더할 수 있습니다.

색의 진하기는 활성제의 양을 나타내며, 표시에서 연료로 바꿀 수 있습니다. 표시 범위는 자동으로 조절되고 모서리에 적혀 있습니다. 작은 그래프의 위아래는 하나의 파장 축을 공유합니다. 위쪽은 이론으로, 현재 $d$에서 각 파장의 작은 요동이 얼마나 빨리 자라는지 보여 줍니다. 아래쪽은 측정으로, 지금 그림에 각 파장 성분이 얼마나 들어 있는지 보여 줍니다. 성장하는 파장 구간은 위아래 모두 배경색으로 표시되므로, 이론이 예측한 구간 안에서 측정 막대가 올라가는 모습을 볼 수 있습니다.

퍼지는 작용이 왜 무늬를 만들까요? 반응은 균일한 혼합 상태 $u_0 = a + b = 1.65$, $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$에서 평형을 이루며, 반응만 있을 때 그 평형은 안정적입니다. 잘 저은 용기 안에서는 작은 변화가 사라집니다. 확산만 있어도 분포를 고르게 만들 뿐입니다.

말로 하면 가까운 곳에서는 활성화하고 먼 곳에서는 억제하는 것입니다. 한곳에서 활성제이 조금 늘면 자신을 더 만들고 주변 연료를 소모합니다. 빠르게 확산하는 연료는 이 부족 상태를 이웃으로 퍼뜨려, 그곳의 활성제을 줄입니다. 그래서 한곳은 자라고 주변은 억제되며, 그 간격은 부족 상태가 얼마나 멀리 퍼지는지에 따라 정해집니다. 여기서 억제는 별도의 억제 물질이 아니라 연료 부족 때문입니다. 둘이 같은 속도로 확산하면 부족 상태가 솟아오른 영역 밖까지 퍼지지 못하므로, 고르게 만드는 작용이 우세해집니다.

균일한 혼합 상태 주변의 작은 요동은 선형 이론으로 정확히 설명할 수 있습니다. 파장이 $2\pi/k$인 요동 $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$는 확산해도 모양을 유지하므로, 각 파장이 독립적으로 성장하거나 사라집니다. 연료는 활성제보다 빨리 확산해야 하지만 그것만으로 충분하지는 않습니다. 이 배합에서 성장률이 처음 0에 도달하는 지점은

입니다. $d_c$ 아래에서는 모든 요동이 사라집니다. 그 위에서는 파장 10 부근의 구간이 성장하고, $d$가 커질수록 구간도 넓어집니다. 배양 접시에는 특정 요동만 들어갈 수 있으므로 $d_c$를 조금 넘었을 때는 성장 구간에 해당하는 요동이 하나도 없을 수 있습니다. 이 페이지의 격자에서는 임계 파장이 9.86이며, 작은 그래프와 표시창도 격자상의 수치를 보여 줍니다. 선형 이론은 어떤 파장이 먼저 자라는지 알려 주며, 무늬의 최종 상태를 결정하지는 않습니다.

선형 이론은 파장을 고를 뿐 모양을 고르지는 않습니다. 적합한 파장 성분은 줄무늬, 육각형으로 배열된 반점, 벌집 모양의 구멍을 이룰 수 있습니다. 무엇이 자라고 남는지는 비선형 항이 결정합니다. 이 모형에서는 서로 120°를 이루는 세 요동이 서로의 성장을 도울 수 있어, 문턱값 근처에서 육각 배열이 유리합니다.

큰 접시에서는 간격이 접시가 아니라 화학 반응에 의해 정해집니다. 접시가 커지면 반점의 크기가 커지는 대신 개수가 늘어납니다. 영역의 폭이 파장 하나 정도로 좁을 때 모양의 영향이 가장 큽니다. 몸통과 꼬리 예시는 넓은 몸통의 반점과 좁은 꼬리를 가로지르는 줄무늬를 보여 줍니다.

앨런 튜링은 1952년 「The Chemical Basis of Morphogenesis」에서 이 원리를 제안했고, 위르겐 슈나켄베르크는 1979년에 이 모형을 도입했습니다.