Turing deseni

Bu sayfa, bir etkinleştirici $u$ ve bir yakıt $v$ için boyutsuz Schnakenberg modeliyle Turing desenleri üretir:

Etkinleştirici ve yakıt, $a$ ve $b$ hızlarıyla beslenir. $u^2 v$ terimi, etkinleştiricinin yakıtı daha fazla etkinleştiriciye dönüştürdüğü $2u + v \to 3u$ tepkimesidir; etkinleştirici ayrıca bozunur. Yakıt, etkinleştiriciden $d$ kat hızlı yayılır. Bileşim $a = 0.05$ ve $b = 1.6$ değerlerinde sabittir; yalnızca $d$ değişir. Burada eşik aşıldığında desenin ortaya çıkışını izleyebilir, teorinin büyüyeceğini söylediği dalga boylarıyla karşılaştırabilir ve fırçayla etkinleştirici ekleyebilirsiniz.

Renk yoğunluğu etkinleştiricinin miktarını, Göster bölümünden seçerseniz yakıtın miktarını gösterir. Otomatik ayarlanan aralık köşede yazılıdır. Küçük grafiğin iki bölümü aynı dalga boyu eksenini paylaşır. Üstte teori vardır: bu $d$ değerinde her dalga boyundaki küçük dalgalanma ne kadar hızlı büyür? Altta ölçüm vardır: şu anki görüntüde her dalga boyundan ne kadar bulunur? Büyüyen bant her iki bölümde de gölgelidir; böylece ölçülen çubukların teorinin öngördüğü bant içinde yükseldiğini görebilirsiniz.

Yayılma nasıl desen oluşturabilir? Tepkime, $u_0 = a + b = 1.65$ ve $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$ ile verilen homojen karışımda dengelenir ve tek başına orada kararlıdır: iyice karıştırılmış bir kapta küçük bir değişiklik söner. Tek başına difüzyon da yalnızca dağılımı eşitler.

Sözcüklerle: kısa menzilli etkinleştirme, uzun menzilli baskılama. Etkinleştirici bir yerde biraz arttığında kendisinden daha fazla üretir ve çevresindeki yakıtı tüketir. Hızlı yayılan yakıt, bu eksikliği komşu bölgelere taşır; oralarda etkinleştirici azalır. Böylece bir yer büyürken çevresi baskılanır. Aralık, eksikliğin ne kadar uzağa yayıldığıyla belirlenir. Buradaki baskılama ayrı bir baskılayıcı maddeden değil, yakıt eksikliğinden kaynaklanır. İkisi aynı hızda yayılırsa eksiklik kabarıklığın ötesine ulaşamaz ve eşitleme etkisi üstün gelir.

Homojen karışım çevresindeki küçük dalgalanmalar için doğrusal teori bunu kesinleştirir. Dalga boyu $2\pi/k$ olan $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ dalgalanması difüzyon altında şeklini korur; dolayısıyla her dalga boyu bağımsız olarak büyür veya söner. Yakıtın etkinleştiriciden hızlı yayılması gerekir, ancak bu tek başına yetmez. Bu bileşim için büyüme hızı ilk kez şu noktada sıfıra ulaşır:

$d_c$ altında tüm dalgalanmalar söner. Üzerinde ise 10 civarındaki bir dalga boyu bandı büyür; $d$ arttıkça bant genişler. Kap yalnızca belirli dalgalanmaları barındırabilir; bu nedenle $d_c$ değerinin hemen üzerinde bant içinde hiçbirine yer veremeyebilir. Sayfanın ızgarasında kritik dalga boyu 9,86’dır; küçük grafik ve gösterge ızgaranın değerlerini verir. Doğrusal teori, önce hangi dalga boylarının büyüdüğünü söyler; desenin son durumunu değil.

Doğrusal teori bir dalga boyu seçer, şekil seçmez. Uygun dalga boyundaki bileşenler şeritler, altıgen dizilmiş benekler veya petek biçiminde delikler oluşturabilir. Hangisinin büyüyüp kaldığını doğrusal olmayan terimler belirler. Bu modelde birbirine 120° açı yapan üç dalgalanma birbirini besleyebilir; bu da eşik yakınında altıgenleri destekler.

Büyük bir kapta aralığı kap değil kimya belirler: daha büyük kap daha büyük benekler değil, daha fazla benek barındırır. Şekil, bölge yaklaşık bir dalga boyu kadar dar olduğunda en çok önem kazanır. Gövde ve kuyruk örneği, geniş gövdedeki benekleri ve dar kuyruğu enine kesen şeritleri gösterir.

Alan Turing mekanizmayı 1952’de “The Chemical Basis of Morphogenesis” çalışmasında önerdi; Jürgen Schnakenberg ise bu modeli 1979’da ortaya koydu.