图灵斑图

本页用Schnakenberg模型（无量纲）长出图灵斑图，其中有活化剂$u$和燃料$v$：

活化剂和燃料分别以速率$a$和$b$补入。$u^2 v$这一项是反应$2u + v \to 3u$，活化剂把燃料变成更多的活化剂；活化剂自己也会衰减。燃料的扩散速度是活化剂的$d$倍。配方固定为$a = 0.05$、$b = 1.6$，只有$d$可以改。在这一页，你可以看斑图在越过阈值后出现，把它和理论预言会增长的波长对照，还可以用笔刷添上活化剂。

浓淡表示活化剂有多少（在“显示”里可换成燃料），范围是自动的，写在角上。嵌入屏的两部分共用一条波长轴。上面是理论：在当前的$d$下，各个波长的小起伏长得多快。下面是测量：画面里现在各个波长各有多少。会增长的那一段波长在上下两部分都涂了底色，你可以看测出的柱子在理论预言的范围里长起来。

扩散为什么能造出斑图？反应在一个均匀的混合处平衡：$u_0 = a + b = 1.65$，$v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$。只有反应时，这个平衡是稳定的：搅匀的锅里，小的变化会消失。只有扩散时，它只会把东西抹平。

换成话说：近处激活，远处抑制。活化剂在某处多了一点，就造出更多的自己，吃掉周围的燃料。燃料扩散得快，把这份短缺带到邻近的地方，那里的活化剂缺了燃料就减少。于是一处长起来，周围被压下去，间隔由短缺传多远决定。这里的抑制是燃料不够，不是另有一种抑制物。两者扩散得一样快时，短缺传不出那个鼓包，抹平占了上风。

对均匀混合附近的小起伏，线性理论能把这件事算清楚。起伏$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$的波长是$2\pi/k$，扩散不改变它的形状，所以每个波长各自增长或消退。燃料必须扩散得比活化剂快，但光有这一条还不够：对这个配方，增长率第一次达到零是在

低于$d_c$时，所有起伏都会消退。高于它，波长10左右的一段会增长，$d$越大这一段越宽。培养皿只容得下某些起伏，所以刚超过$d_c$时，增长段里可能一个也没有。在本页的网格上，临界波长是9.86，嵌入屏和读数给的都是网格上的数。线性理论说的是哪些波长先长起来，不是斑图最后停在哪里。

线性理论只挑出波长，不挑形状。同样波长的一段，可以排成条纹、六角排列的斑点，或者蜂窝状的孔，由方程的非线性项决定哪一种长出来并留下来。在这个模型里，彼此成120°的三个起伏能互相助长，所以在阈值附近偏向六角排列。

培养皿足够大时，间隔属于化学，不属于培养皿：培养皿大了，斑点多，而不是斑点大。区域窄到和一个波长差不多时，形状最要紧。“身体和尾巴”精选展示了宽身体里的斑点和窄尾巴上的横条。

图灵在1952年的《形态发生的化学基础》里提出了这个机制，Schnakenberg在1979年提出了这个模型。