Padrão de Turing

A página faz crescer padrões de Turing no modelo adimensional de Schnakenberg, com um ativador $u$ e um combustível $v$:

O ativador e o combustível são fornecidos às taxas $a$ e $b$. O termo $u^2 v$ representa a reação $2u + v \to 3u$, na qual o ativador transforma combustível em mais ativador; o próprio ativador também decai. O combustível difunde-se $d$ vezes mais depressa do que o ativador. A receita mantém-se em $a = 0.05$ e $b = 1.6$, e só $d$ varia. Aqui pode observar um padrão surgir para lá de um limiar, compará-lo com os comprimentos de onda que a teoria prevê que cresçam e acrescentar ativador com um pincel.

A intensidade da cor indica a quantidade de ativador, ou de combustível se o escolher em Mostrar, numa escala automática indicada no canto. As duas partes do pequeno gráfico partilham o mesmo eixo de comprimentos de onda. Em cima está a teoria: a rapidez com que cresce uma pequena ondulação de cada comprimento de onda para este $d$. Em baixo está a medição: quanto de cada comprimento de onda contém agora a imagem. A faixa que cresce está sombreada em ambas as partes, para que possa ver as barras medidas subir dentro da faixa prevista pela teoria.

Como pode a difusão criar um padrão? A reação equilibra-se numa mistura uniforme, $u_0 = a + b = 1.65$ e $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$, e é estável aí quando atua sozinha: num recipiente bem agitado, uma pequena perturbação desaparece. A difusão, por si só, também apenas uniformiza.

Por palavras: ativação de curto alcance, inibição de longo alcance. Onde o ativador aumenta um pouco, produz mais de si próprio e consome o combustível à volta. O combustível, que se difunde depressa, estende essa falta à vizinhança, onde o ativador passa a diminuir. Assim, um local cresce enquanto os arredores são travados, a uma distância determinada pelo alcance da falta. Aqui a inibição é falta de combustível, não um inibidor separado. Quando ambos se difundem à mesma velocidade, a falta não vai além da elevação, e a uniformização vence.

Para pequenas ondulações em torno da mistura uniforme, a teoria linear torna este mecanismo preciso. Uma ondulação $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ com comprimento de onda $2\pi/k$ mantém a forma sob difusão; por isso, cada comprimento de onda cresce ou diminui por si. O combustível tem de se difundir mais depressa do que o ativador, mas isso não basta: para esta receita, a taxa de crescimento chega pela primeira vez a zero em

Abaixo de $d_c$, todas as ondulações diminuem. Acima, cresce uma faixa de comprimentos de onda perto de 10, que se alarga quando $d$ aumenta. Um recipiente só admite certas ondulações, pelo que, logo acima de $d_c$, pode não admitir nenhuma nessa faixa. Na grelha desta página, o comprimento de onda crítico é 9,86; o gráfico e o mostrador dão os valores da grelha. A teoria linear diz que comprimentos de onda crescem primeiro, não o estado final do padrão.

A teoria linear escolhe um comprimento de onda, não uma forma. As componentes do comprimento certo podem dispor-se em riscas, numa rede hexagonal de manchas ou em orifícios em favo de mel. Os termos não lineares decidem o que cresce e permanece. Neste modelo, três ondulações a 120° podem reforçar-se mutuamente, favorecendo os hexágonos perto do limiar.

Num recipiente grande, o espaçamento pertence à química, não ao recipiente: um recipiente maior contém mais manchas, não manchas maiores. A forma importa sobretudo onde a região é tão estreita como cerca de um comprimento de onda. O exemplo Corpo e cauda mostra manchas no corpo largo e barras a atravessar a cauda estreita.

Alan Turing propôs o mecanismo em 1952, em «The Chemical Basis of Morphogenesis», e Jürgen Schnakenberg introduziu este modelo em 1979.