圖靈斑圖

本頁以無因次的Schnakenberg模型生成圖靈斑圖，其中有活化劑$u$與燃料$v$：

活化劑與燃料分別以速率$a$和$b$補入。$u^2 v$這一項對應反應$2u + v \to 3u$：活化劑將燃料轉變成更多活化劑，而活化劑本身也會衰減。燃料的擴散速率是活化劑的$d$倍。配方固定為$a = 0.05$和$b = 1.6$，只有$d$會改變。你可以觀察斑圖在越過臨界值後出現，與理論預測會增長的波長對照，也可以用筆刷添加活化劑。

顏色濃淡表示活化劑的多寡，也可在顯示中切換為燃料；範圍會自動調整，標示在角落。小圖的上下兩部分共用一條波長軸。上半部是理論：在目前的$d$下，各波長的小起伏增長得多快。下半部是測量：目前畫面含有多少各種波長的成分。會增長的波長範圍在上下兩部分都以底色標示，讓你看見測得的長條在理論預測的範圍內增長。

擴散為什麼能產生斑圖？反應在均勻混合的狀態$u_0 = a + b = 1.65$與$v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$達到平衡，而且單獨考慮反應時，這個平衡是穩定的：在充分攪拌的容器中，微小變化會消失。單獨考慮擴散時，它也只會讓分布更均勻。

用文字說，就是近距離活化、遠距離抑制。某處的活化劑稍微增加，就會製造更多自己，消耗周圍燃料。燃料擴散得快，將這份短缺傳到鄰近區域，讓那裡的活化劑減少。於是一處增長，周圍卻受抑制，間距由短缺能傳多遠決定。這裡的抑制來自燃料不足，並沒有另一種抑制劑。兩者擴散一樣快時，短缺傳不到隆起之外，均勻化就占上風。

對均勻混合附近的小起伏，線性理論能精確描述這件事。波長為$2\pi/k$的起伏$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$在擴散下保持形狀，所以各個波長能獨立增長或消退。燃料必須比活化劑擴散得快，但光是這樣還不夠：對這個配方，增長率首次達到零的位置是

低於$d_c$時，所有起伏都會消退。高於它時，波長約10附近的一段範圍會增長，並隨$d$增大而變寬。培養皿只能容納某些起伏，因此剛超過$d_c$時，可能沒有任何可容納的起伏落在增長範圍內。本頁網格的臨界波長為9.86，小圖與讀數給的都是網格上的數值。線性理論指出哪些波長最先增長，並不決定斑圖最後穩定在哪種狀態。

線性理論選出波長，並不選出形狀。合適波長的成分可以排成條紋、六角排列的斑點，或蜂巢狀孔洞；非線性項決定哪一種會增長並留下來。在這個模型中，三個互成120°的起伏能彼此助長，因此在臨界值附近較容易形成六角排列。

培養皿足夠大時，間距由化學反應決定，而非由培養皿決定：更大的培養皿容納更多斑點，而不是更大的斑點。當區域窄到約一個波長時，形狀的影響最顯著。身體和尾巴示例展示寬闊身體中的斑點，以及窄尾巴上的橫條。

Alan Turing在1952年的〈The Chemical Basis of Morphogenesis〉中提出這個機制，Jürgen Schnakenberg則於1979年提出本模型。