Patrón de Turing

La página genera patrones de Turing con el modelo adimensional de Schnakenberg, para un activador $u$ y un combustible $v$:

El activador y el combustible se aportan a ritmos $a$ y $b$. El término $u^2 v$ representa la reacción $2u + v \to 3u$, en la que el activador convierte combustible en más activador; el activador también se degrada. El combustible se difunde $d$ veces más rápido que el activador. La receta se fija en $a = 0.05$ y $b = 1.6$, y solo cambia $d$. Aquí puedes observar cómo aparece un patrón al superar un umbral, compararlo con las longitudes de onda que la teoría predice que crecerán y añadir activador con un pincel.

La intensidad del color indica cuánto activador hay, o cuánto combustible si lo eliges en Mostrar, con una escala automática indicada en la esquina. Las dos partes del pequeño gráfico comparten un eje de longitudes de onda. Arriba está la teoría: a qué ritmo crece una pequeña ondulación de cada longitud de onda para este $d$. Abajo está la medida: cuánto de cada longitud de onda contiene ahora la imagen. La banda que crece está sombreada en ambas partes, para que puedas ver cómo suben las barras medidas dentro de la banda predicha por la teoría.

¿Por qué puede la difusión crear un patrón? La reacción se equilibra en una mezcla uniforme, $u_0 = a + b = 1.65$ y $v_0 = b/(a+b)^2 \approx 0.588$, y por sí sola es estable allí: en un recipiente bien agitado, una pequeña perturbación desaparece. La difusión por sí sola también se limita a uniformizar.

Dicho con palabras: activación a corto alcance e inhibición a largo alcance. Donde aumenta un poco el activador, este produce más de sí mismo y consume el combustible de alrededor. El combustible, que se difunde rápido, extiende esa escasez a las zonas vecinas, donde el activador disminuye. Así, un lugar crece mientras su entorno queda frenado, a una distancia que depende de hasta dónde se propaga la escasez. Aquí la inhibición se debe a la falta de combustible, no a un inhibidor separado. Si ambos se difunden igual de rápido, la escasez no llega más allá del bulto y gana la uniformización.

Para pequeñas ondulaciones alrededor de la mezcla uniforme, la teoría lineal precisa este mecanismo. Una ondulación $\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$ de longitud de onda $2\pi/k$ conserva su forma con la difusión, así que cada longitud de onda crece o decae por separado. El combustible debe difundirse más rápido que el activador, pero eso no basta: con esta receta, la tasa de crecimiento alcanza por primera vez el cero en

Por debajo de $d_c$, todas las ondulaciones decaen. Por encima, crece una banda de longitudes de onda alrededor de 10, que se ensancha al aumentar $d$. Un recipiente solo admite ciertas ondulaciones, así que, justo por encima de $d_c$, puede no admitir ninguna dentro de esa banda. En la cuadrícula de esta página, la longitud de onda crítica es 9,86; el gráfico y el indicador dan los valores de la cuadrícula. La teoría lineal dice qué longitudes de onda crecen primero, no en qué estado acaba el patrón.

La teoría lineal elige una longitud de onda, no una forma. Las componentes de la longitud adecuada pueden disponerse en rayas, en una red hexagonal de manchas o en huecos como los de un panal. Los términos no lineales deciden qué crece y perdura. En este modelo, tres ondulaciones a 120° pueden reforzarse mutuamente, lo que favorece los hexágonos cerca del umbral.

En un recipiente grande, el espaciado lo determina la química, no el recipiente: uno mayor contiene más manchas, no manchas más grandes. La forma importa sobre todo donde la región es casi tan estrecha como una longitud de onda. El ejemplo Cuerpo y cola muestra manchas en el cuerpo ancho y barras que cruzan la cola estrecha.

Alan Turing propuso el mecanismo en 1952, en «The Chemical Basis of Morphogenesis», y Jürgen Schnakenberg introdujo este modelo en 1979.