Filotaxia

A filotaxia é a disposição de folhas, pequenas flores ou sementes numa planta. No capítulo de um girassol, as sementes formam duas famílias de espirais, cujas contagens são muitas vezes números de Fibonacci consecutivos. Aqui podes contar as espirais em qualquer ponto de um disco de sementes, ver o efeito de uma pequena mudança de ângulo e observar uma regra sem ângulo definido chegar perto do ângulo áureo. Em Ângulo fixo, a semente $k$ de um total de $N$, contando a partir de 0, fica em

Cada semente roda mais α do que a anterior, e a raiz quadrada atribui a cada nova semente a mesma área de coroa circular. A uniformidade da distribuição das sementes ao longo das coroas depende do ângulo. Este é o modelo de um capítulo de girassol de Helmut Vogel (1979).

O círculo azul é onde fazes a contagem. A página encontra aí as espirais que o olhar reconhece e desenha-as a amarelo: traço contínuo para a família dos vizinhos mais próximos e tracejado para a outra. Numera-as nos pontos em que cruzam o círculo.

Nenhuma semente está ligada a outra: as espirais são obra do olhar. A semente $k + m$ rodou mais $m\alpha$ do que a semente $k$. Quando $m\alpha$ está perto de um número inteiro de voltas, as duas apontam quase na mesma direção e, se os seus raios também forem próximos, são vizinhas. Ligar cada semente à que está $m$ posições adiante traça então uma família de $m$ espirais. O ângulo áureo é

e, no círculo predefinido,

as sementes separadas por 34 posições e por 55 posições são, portanto, as mais próximas, e o olhar vê 34 espirais e 55. Uma família cuja rotação fica um pouco abaixo de um número inteiro de voltas enrola-se para fora num sentido; uma que o ultrapassa um pouco enrola-se no outro.

Porquê números de Fibonacci? Os valores de $m$ para os quais $m\alpha$ mais se aproxima de um número inteiro de voltas podem ler-se na fração contínua de α expresso como fração de uma volta. Para o ângulo áureo, todos os termos depois do 2 são 1,

pelo que as suas melhores aproximações racionais têm denominadores de Fibonacci. Ficam alternadamente acima e abaixo de α/360°, razão pela qual, no ângulo áureo, as duas famílias se enrolam em sentidos opostos. O par que o círculo mostra depende da sua posição. Duas sementes separadas por $m$ posições diferem um pouco no raio e um pouco na direção. Para fora, a diferença de raio conta menos e a de direção conta mais. Assim, mais para fora, passa a predominar uma família cuja direção regressa mais perto da inicial, mesmo que as suas sementes estejam mais afastadas na sequência, e as contagens avançam de um número de Fibonacci para o seguinte.

Ângulos próximos do ângulo áureo podem produzir imagens completamente diferentes, e a fração contínua explica porquê. Um termo grande indica um regresso invulgarmente próximo à mesma direção, o que pode fazer sobressair os braços em espiral. O ângulo áureo, cujos termos depois do 2 são todos 1, mantém as direções bem distribuídas. O pequeno diagrama mostra as direções das primeiras sementes num círculo: qualquer que seja o seu número, o maior intervalo é, no máximo, $\varphi^2 \approx 2.618$ vezes o menor.

As plantas não medem ângulos, e Mais espaço não define nenhum. Um ápice em crescimento produz um primórdio após outro, cada um o esboço de uma folha ou de uma pequena flor. Em 1868, Wilhelm Hofmeister observou que um novo primórdio aparece no maior espaço entre os mais antigos, que depois se afastam do ápice. Mais espaço executa um modelo simplificado desta regra. A partir do estado inicial predefinido, enquanto os primórdios mais antigos são empurrados muito para fora entre nascimentos, cada novo primórdio aparece no lado oposto ao anterior. À medida que esse deslocamento diminui, o ângulo afasta-se dos 180°, oscila em torno dos 137,5° e estabiliza perto dos 137,47°, enquanto as contagens das espirais avançam pelos números de Fibonacci. Com outros estados iniciais, a mesma regra pode estabilizar noutro valor, por exemplo perto dos 99,7°.